1.1 流体力学的基本概念

1.1.1 流体的连续介质模型

（1）流体质点（fluid particle）：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。

（2）连续介质（continuum/continuous medium）：质点连续地充满所占空间的流体或固体。

（3）连续介质模型（continuum continuous medium model）：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u＝u（t，x，y，z）。

1.1.2 流体的性质

1．惯性

流场中流体惯性（inertia）为流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。单位体积流体的质量称为密度（density），以ρ表示，单位为kg/m3。对于均质流体，设其体积为V，质量为m，则密度为

对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积为ΔV，其中质量为Δm，则该点密度用极限方式表示，即

2．压缩性

压缩性（compressibility）为作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。压缩性可用体积压缩率k来量度。

式中，p为外部压强。

在研究流体流动过程中，若考虑到流体的压缩性，则称为可压缩流动，该流体称为可压缩流体，如高速流动的气体。若不考虑流体的压缩性，则称为不可压缩流动，此流体称为不可压缩流体，如水、油等。

3．黏性

黏性（viscosity）为在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。黏性大小由黏度来量度。流体的黏度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的。黏度有动力黏度μ和运动黏度ν之分。动力黏度由牛顿内摩擦定律导出。

式中，τ为切应力，Pa；μ为动力黏度，Pa•s；du/dy为流体的剪切变形速率。

运动黏度与动力黏度的关系为

式中，ν为运动黏度，m2/s。

在研究流体流动过程中，考虑流体的黏性时，称为黏性流动，相应的流体称为黏性流体；当不考虑流体的黏性时，称为理想流体的流动，相应的流体称为理想流体。

根据流体是否满足牛顿内摩擦定律，将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体严格满足牛顿内摩擦定律且μ保持为常数。非牛顿流体的切应力与速度梯度不成正比，一般又分为塑性流体，假塑性流体，胀塑性流体三种。

塑性流体，如牙膏等，它们有一个保持不产生剪切变形的初始应力τ0，只有克服了这个初始应力后，其切应力才与速度梯度成正比，即

假塑性流体，如泥浆等。其切应力与速度梯度的关系是

胀塑性流体，如乳化液等，其切应力与速度梯度的关系是

1.1.3 流体力学中的力与压强

1．质量力

与流体微团质量大小有关并且集中在微团质量中心的力称为质量力（body force）。在重力场中有重力mg；直线运动时，有惯性力ma。质量力是一个矢量，一般用单位质量所具有的质量力来表示，其形式如下

式中，i，j，k为单位质量力在轴上的投影。

2．表面力

大小与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力（surface force）。表面力按其作用方向可以分为两种：一是沿表面内法线方向的压力，称为正压力；另一种是沿表面切向的摩擦力，称为切向力。

对于理想流体的流动，流体质点只受到正压力，没有切向力。对于黏性流体流动，流体质点所受到的作用力既有正压力，也有切向力。

作用在静止流体上的表面力只有沿表面内法线方向的正压力。单位面积上所受到的表面力称为这一点处的静压强。静压强具有两个特征：①静压强的方向垂直指向作用面；②流场内一点处静压强的大小与方向无关。

3．表面张力

在液体表面，界面上液体间的相互作用力为张力，在液体表面有自动收缩的趋势，收缩的液面存在与该处液面相切的拉力，称为液体的表面张力（surface tension）。正是这种力的存在，引起弯曲液面内外出现压强差以及常见的毛细现象等。

试验表明，表面张力大小与液面的截线长度L成正比，即

式中，σ为表面张力系数，它表示液面上单位长度截线上的表面张力，其大小由液体性质与接触相温度、压力等决定，其单位为N/m。

4．绝对压强、相对压强及真空度

标准大气压的压强是101325Pa（760mm汞柱），是压强的单位，记作atm。若压强大于大气压，则以此压强为计算基准得到的压强称为相对压强（relative pressure），也称表压强，通常用pr表示。若压强小于大气压，则压强低于大气压的值就称为真空度（vacuum），通常用pv表示。如以压强0Pa为计算的基准，则这个压强就称为绝对压强（absolute pressure），通常用ps表示。这三者的关系如下

在流体力学中，压强都用符号p表示，但一般来说有一个约定，对于液体，压强用相对压强；对于气体，特别是马赫数大于0.1的流动，应视为可压缩流，压强用绝对压强。

压强的单位较多，一般用Pa，也可用单位bar，还可以用汞柱、水柱，这些单位换算如下

1Pa＝1N/m2

1bar＝105Pa

1atm＝760mmHg＝10.33mH2O＝101325Pa

5．静压、动压和总压

对于静止状态下的流体，只有静压强。对于流动状态的流体，有静压强（static pressure）、动压强（dynamic pressure）、测压管压强（manometric tube pressure）和总压强（total pressure）之分，从伯努利（Bernoulli）方程中分析它们的意义。

伯努利方程阐述一条流线上流体质点的机械能守恒。对于理想流体的不可压缩流动其表达式如下

式中，p/ρg称为压强水头，也是压能项，为静压强；v2/2g称为速度水头，也是动能项；z称为位置水头，也是重力势能项；这三项之和就是流体质点的总的机械能；H称为总的水头高。

将式（1-13）两边同时乘以ρg，则有

式中，p称为静压强，简称静压；称为动压强，简称动压；ρgH称为总压强，简称总压。对于不考虑重力的流动，总压就是静压和动压之和。

1.1.4 流体运动的描述

1．流体运动描述的方法

描述流体物理量有两种方法，一种是拉格朗日描述，一种是欧拉描述。

拉格朗日（Lagrange）描述也称随体描述，它着眼于流体质点，并将流体质点的物理量认为是随流体质点及时间变化的，即把流体质点的物理量表示为拉格朗日坐标及时间的函数。设拉格朗日坐标为（a，b，c），以此坐标表示的流体质点的物理量，如矢径、速度、压强等在任一时刻t的值，便可以写为a，b，c及t的函数。

若以f表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是

例如，设时刻t流体质点的矢径（即t时刻流体质点的位置）以r表示，其拉格朗日描述为

同样，质点的速度的拉格朗日描述是

欧拉描述，也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间而变化，即把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数。设欧拉坐标为（q1，q2，q3）（欧拉坐标可以用直角坐标（x，y，z），柱坐标（r，θ，z）或球坐标（r，θ，φ）来表示），用欧拉坐标表示的各空间点上的流体物理量如速度、压强等，在任一时刻t的值，可写为q1，q2，q3及t的函数。从数学分析知道，当某时刻一个物理量在空间的分布一旦确定，该物理量在此空间形成一个场。因此，欧拉描述实际上描述了一个个物理量的场。

若以f表示流体的一个物理量，其欧拉描述的数学表达是（设空间坐标取用直角坐标）

如流体速度的欧拉描述是

2．拉格朗日描述与欧拉描述之间的关系

拉格朗日描述着眼于流体质点，将物理量视为随体坐标与时间的函数；欧拉描述着眼于空间点，将物理量视为空间坐标与时间的函数。它们可以描述同一物理量，必定互相相关。设表达式f＝f（a，b，c，t）表示流体质点（a，b，c）在t时刻的物理量；表达式f＝F（x，y，z，t）表示空间点（x，y，z）上于时刻t的同一物理量。如果流体质点（a，b，c）在t时刻恰好运动到空间点（x，y，z）上，则应有

事实上，将式（1-20）代入式（1-21）左端，即有

或者反解式（1-20），得到

将式（1-23）代入式（1-21）的右端，也应有

由此，可以通过拉格朗日描述推出欧拉描述，同样也可以由欧拉描述推出拉格朗日描述。

3．随体导数

流体质点物理量随时间的变化率称为随体导数（substantial derivative），或物质导数、质点导数。

按拉格朗日描述，物理量f表示为f＝f（a，b，c，t），f的随体导数就是跟随质点（a，b，c）的物理量f对时间t的导数∂f/∂t。例如：速度v（a，b，c，t）是矢径r（a，b，c，t）对时间的偏导数

即随体导数就是偏导数。

按欧拉描述，物理量f表示为f＝F（x，y，z，t），但∂F/∂t并不表示随体导数，它只表示物理量在空间点（x，y，z，t）上的时间变化率。而随体导数必须跟随t时刻位于（x，y，z，t）空间点上的那个流体质点，其物理量f的时间变化率。由于该流体质点是运动的，即x，y，z是变的。若以a，b，c表示该流体质点的拉格朗日坐标，则x，y，z将依式（1-16）变化，从而f＝F（x，y，z，t）的变化依连锁法则处理。因此，物理量f＝F（x，y，z，t）的随体导数是

其中，D/Dt表示随体导数。

从中可以看出，对于质点物理量的随体导数，欧拉描述与拉格朗日描述大不相同。前者是两者之和，而后者是直接的偏导数。

4．定常流动与非定常流动

流体流动过程以及流动过程中，流体的物理参数是否与时间相关，可将流动分为定常流动（steady flow）与非定常流动（unsteady flow）。

定常流动：流体流动过程中各物理量均与时间无关，这种流动称为定常流动。

非定常流动：流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关，则这种流动称为非定常流动。

5．流线与迹线

常用流线和迹线来描述流体的流动。

迹线（track）：随着时间的变化，空间某一点处的流体质点在流动过程中所留下的痕迹称为迹线。在t＝0时刻，位于空间坐标（a，b，c）处的流体质点，其迹线方程为

式中，u，v，w分别为流体质点速度的三个分量；x，y，z为在t时刻此流体质点的空间位置。

流线（streamline）：在同一个时刻，由不同的无数多个流体质点组成的一条曲线，曲线上每一点处的切线与该质点处流体质点的运动方向平行。流场在某一时刻t的流线方程为

对于定常流动，流线的形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。在实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不能突然转折。

6．流量与净通量

流量（flux）：单位时间内流过某一控制面的流体体积称为该控制面的流量Q，其单位为m3/s。若单位时间内流过的流体是以质量计算，则称为质量流量Qm，不加说明时“流量”一词概指体积流量。在曲面控制面上有

净通量（net flux）：在流场中取整个封闭曲面作为控制面A，封闭曲面内的空间称为控制体。流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出控制体。此时流出的流体减去流入的流体，所得出的流量称为流过全部封闭控制面A的净流量（或净通量），通过下式计算：

对于不可压缩流体来说，流过任意封闭控制面的净通量等于0。

7．有旋流动与有势流动

由速度分解定理，流体质点的运动可以分解为：

（1）随同其他质点的平动；

（2）自身的旋转运动；

（3）自身的变形运动（拉伸变形和剪切变形）。

在流动过程中，若流体质点自身作无旋运动（irrotational flow），则称流动是无旋的，也就是有势的，否则就称流动是有旋流动（rotational flow）。流体质点的旋度是一个矢量，通常用ω表示，其大小为

若ω＝0，则称流动为无旋流动，即有势流动（potential flow），否则就是有旋流动。

ω与流体的流线或迹线形状无关；黏性流动一般为有旋流动；对于无旋流动，伯努利方程适用于流场中任意两点之间；对于无旋流动（也称为有势流动），即存在一个势函数φ（x，y，z，t），满足：

8．层流与湍流

流体的流动分为层流流动（laminar flow）和湍流流动（turbulent flow）。从试验的角度来看，层流流动就是流体层与层之间相互没有任何干扰，层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递；而湍流流动中层与层之间相互有干扰，而且干扰的力度还会随着流动而加大，层与层之间既有质量的传递又有动量的传递。

判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下

式中，V为截面的平均速度；L为特征长度；ν为流体的运动黏度。

对于圆形管内流动，特征长度L取圆管的直径d。一般认为临界雷诺数为2320，即

当Re＜2320时，管中是层流；当Re＞2320时，管中是湍流。

对于异型管道内的流动，特征长度取水力直径dH，则雷诺数的表达式为

异型管道水力直径的定义如下

式中，A为过流断面的面积；S为过流断面上流体与固体接触的周长。

临界雷诺数则根据形状的不同而有所差别。根据实验几种异型管道的临界雷诺数见表1-1。

对于平板的外部绕流，特征长度取沿流动方向的长度，其临界雷诺数为5×105～3×106。