7.7 方向导数与梯度_高等数学（独立院校用）（下册）-QQ阅读女频现言网

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7.7　方向导数与梯度

7.7.1　引例

一块长方形的金属板四个顶点的坐标是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3）.在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.一只蚂蚁在金属板上逃生至点（3，2）处，问这只蚂蚁在该点应沿什么方向爬行，才能最快到达较凉快的地点？

分析　金属板的温度函数是二元函数，其定义域是以（1，1）、（5，1）、（1，3）、（5，3）为顶点的矩形区域D，蚂蚁应沿由热到冷变化最剧烈的方向爬行.需要求出温度T在点（3，2）处沿不同方向的变化率，从而确定温度下降最快的方向.为此，引入方向导数与梯度的概念.

7.7.2　方向导数

1.方向导数的定义

首先讨论函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处沿任意方向的变化率.

设函数z=f（x，y）在点P0的某一邻域U（P0）内有定义，自点P0引射线l，射线l的方向角分别为α，β，如图7-20所示，求z=f（x，y）沿着射线l方向的变化率.

设P（x0+Δx，y0+Δy）为射线l上的另一点，记P0，P之间的距离为ρ，则

此时　　Δx=ρcosα；　Δy=ρcosβ.

函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的增量为

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0），

即　　Δz=f（x0+ρcosα，y0+ρcosβ）-f（x0，y0）.

则Δz与ρ的比值的极限

就是函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处沿着射线l方向的变化率.

图7-20

定义7.6　设函数z=f（x，y）在点P0的某一邻域U（P0）内有定义，l为非零向量，其方向角为α和β，若极限

存在，称此极限为函数z=f（x，y）在点P0处沿l的方向导数，记为，即

注意　（1）方向导数的几何意义.方向导数表示函数z=f（x，y）在点P0处沿方向l的变化率.

（2）方向导数存在性与偏导数存在性之间的关系.若函数z=f（x，y）在点P0处的偏导数fx，fy存在，则函数f（x，y）在点P0处沿着x轴正向、负向，y轴正向、负向的方向导数均存在；反之，z=f（x，y）在点P0处沿任何方向l的方向导数都存在并不能保证偏导数fx，fy存在，如下例.

【例1】　证明函数在（0，0）处沿任何方向l的方向导数都存在，但偏导数不存在.

证明　设l为任意非零向量，其方向角为α，β，则

即函数在点（0，0）处沿任何方向l的方向导数都存在；而偏导数

不存在.证毕.

类似可得三元函数方向导数的定义：三元函数u=f（x，y，z）在空间一点P0（x0，y0，z0）处沿着方向l的方向导数为

其中α，β，γ为方向l的方向角.

2.方向导数的计算

定理7.8　如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）处是可微分的，则函数z=f（x，y）在点P（x，y）处沿任意方向l的方向导数都存在，且有

其中α，β为l的方向角.

证明　由函数f（x，y）在点P（x，y）处可微分知，函数在点P（x，y）处的增量可表示为

其中，特别地f（x，y）沿方向l的增量为

证毕.

类似地，如果三元函数u=f（x，y，z）在点M（x，y，z）处可微分，则u=f（x，y，z）在点M（x，y，z）处沿方向l的方向导数为

其中， .

需要注意的是，定理中的可微分不是方向导数存在的必要条件.

例如：在点（0，0）处沿任意方向l的方向导数都存在，因偏导数不存在，从而不可微.

【例2】　求函数z=xe2y在点P（1，0）处沿从点P（1，0）到点Q（2，2）方向的方向导数：

【例3】　设n是椭球面2x2+3y2+z2=6在点P（1，1，1）处的指向外侧的法向量，求函数在点P（1，1，1）处沿方向n的方向导数.

解　令　　F（x，y，z）=2x2+3y2+z2-6，

故法向量为

7.7.3　梯度

方向导数解决了函数在指定点处沿某个方向的变化率的问题，为求解类似于引例中的问题：函数在指定点处沿哪个方向的变化率最大（小），下面引入梯度的概念.

定义7.7　设函数z=f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y）∈D，称向量为函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的梯度，记为gradf（x，y），即

梯度与方向导数的关系如下：

设l0=cosαi+cosβj是方向l上的单位向量，由方向导数公式知

其中θ为gradf（x，y）与l0的夹角.

可见，对于梯度与方向导数的关系有以下结论：

（1）当cosθ=1时，即l与梯度gradf（x，y）的方向一致，方向导数取得最大值|gradf（x，y）|；当cosθ=-1时，即l与梯度gradf（x，y）的方向相反，方向导数取得最小值-|gradf（x，y）|；当cosθ=0时，即l与gradf（x，y）的方向垂直时，方向导数.

（2）函数在某点的梯度是这样一个向量：它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即

在几何上，z=f（x，y）表示一个曲面，曲面被平面z=c（c为常数）截得曲线，该曲线在xOy平面上投影曲线的方程为f（x，y）=c，称此投影曲线为z=f（x，y）的等值线，如图7-21所示.

由于等高线f（x，y）=c上任一点（x，y）处法线的方向向量为

因此，梯度恰为等高线在点（x，y）处的一个法向量.于是，我们得到梯度与等高线的如下关系：

函数z=f（x，y）在点P（x，y）的梯度方向与过点P的等高线f（x，y）=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.

梯度的概念可以推广到三元函数.

三元函数u=f（x，y，z）在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y，z）∈G，梯度为

图7-21

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.

类似地，设曲面f（x，y，z）=c为函数u=f（x，y，z）的等量面，此函数在点P（x，y，z）的梯度的方向与过点P的等量面f（x，y，z）=c在该点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数.

【例4】　求函数u=2xy-z2在点（2，-1，1）处的梯度，并问该函数在哪些点处梯度为零？

解　由梯度计算公式得

故　　gradu（2，-1，1）=-2i+4j-2k.

令gradu（x，y，z）=0，得x=y=z=0，因此，u在点P0（0，0，0）处梯度为0.

最后我们求解引例.

【例5】　一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3）.在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.一只蚂蚁在板中逃生至点（3，2）处，问这只蚂蚁在该点应沿什么方向爬行，才能最快到达较凉快的地点？如图7-22所示.