第2讲　间接效用函数与支出函数

2.1　课后习题详解

1设一个消费者的直接效用函数为。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当时，消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：

对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去后得：

　④

再把④式代入③式中得：

　⑤

从而解得马歇尔需求函数为：

　 

由⑤式可知：当时，，消费者同时消费商品1和商品2。

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

②当时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。

从而解得马歇尔需求函数为：

　 

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

（2）①当时，此时的间接效用函数为：

将间接效用函数分别对、和求偏导得：

　 

由罗尔恒等式，得到：

　 

②当时，间接效用函数为，将间接效用函数分别对、和求偏导得：

　 

由罗尔恒等式，得到：

　 

（3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2某个消费者的效用函数是，商品1和2的价格分别是和，此消费者的收入为，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去后得：

　④

把④式代入③式中得：

　⑤

把⑤式代入④式中得：

　⑥

⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

3试根据间接效用函数求出相应的马歇尔需求函数，这里表示收入。

解：由间接效用函数可得：，，。

根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中或2）：

4考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只依赖于其效用函数，这里。已知北京的物价为，上海的物价为，并且

，但，。又知广州的物价为。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？

解：老人的效用最大化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

由①②③三式求解，可得：，。

将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：

于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：

　 

因为，所以。

又因为，由于已知，所以该不等式的等号并不成立，则有。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5（1）设，这里，求与该效用函数相对应的支出函数。

（2）又设，这里，，求与该效用函数相对应的支出函数。

（3）证明：，其中。

答：（1）消费者的支出最小化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

由上述三式解得：，。

把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

（2）消费者的支出最小化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

由①②③三式可解得：，。

把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

（3）证明：

根据（1）与（2）的结果，可得。

6设某消费者的间接效用函数为，这里。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？

答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为，从中反解出关于、和的表达式，并用替换，就得到了消费者的支出函数：

根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：

7考虑含种商品的Cobb-Douglass效用函数，这里，。

（1）求每种商品的马歇尔需求函数。

（2）求消费者的间接效用函数。

（3）计算消费者的支出函数。

（4）计算每种商品的希克斯需求函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对和分别求偏导数得：

　①

从前个等式可知，对任意的和，都有如下关系成立：

从而得到，对任意的都有：

把这个等式代入①式中，就有：

即：

从而解得商品的马歇尔需求函数为：

（2）把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，就得到了消费者的间接效用函数：

（3）从间接效用函数中反解出关于、和的表达式，并用替换，就得到了消费者的支出函数：

（4）把支出函数两边取对数，得：

上式关于求导得：

再根据谢泼特引理得到消费者对物品的希克斯需求函数为：

8以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

答：（1）如果消费者的效用函数为柯布—道格拉斯效用函数，那么他的效用最大化问题可以描述为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去后得：

　④

把④式代入③式中解得：

　⑤

把⑤式代入④式中解得：

　⑥

⑤、⑥两式就是与柯布—道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数，把它们代入目标函数式中，就得到了间接效用函数：

（2）消费者的支出最小化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数对、和分别求偏导得：

　①

　②

　③

从①式和②式中消去后得：

　④

把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为：

　⑤

把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函数为：

　⑥

把⑤，⑥两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：

（3）下面来验证问题的结论：对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中，就得到了它们的马歇尔需求函数：

把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中，就得到了它们的希克斯需求函数：

由此可知，对柯布—道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。

9下列说法对吗？为什么？

函数可以作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。

答：函数不能作为某个消费者对某种商品的希克斯需求函数。理由如下：

希克斯需求函数（用表示，其中下标表示第种商品）是指在消费者的效用保持不变的情况下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。特别地，希克斯需求函数具有以下性质：

（1）关于价格是零次齐次的，即：对任意的，；

（2）关于第种商品的价格单调递减，即：；

（3）对任意的和两种商品，总是成立。

对任意的，，。

故对于函数而言，由于不满足上述三条性质中的前两条，所以它不是希克斯需求函数。

10下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？

这里，与为两种商品，为收入。

答：马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下，商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。马歇尔需求函数具有以下性质：

（1）马歇尔需求函数关于价格和收入是零次齐次的，即：对任意的，都有。

（2）如果一种商品是正常品，即，那么该商品的马歇尔需求函数关于商品的价格单调递减，即。

下面对函数分别验证上述两条性质：

（1）；

（2）由于，所以该商品是正常品。

，但是只有在的条件下才能成立，否则商品的需求随着价格的上升而增加，这就和第二条性质相矛盾。

综合上述分析可知该函数不是马歇尔需求函数。