1.2　典型题（含历年真题）详解

一、选择题

1．图为一做简谐运动的质点的位移x随时间t变化的图像，由图可知，从t＝0开始，经过2s后，此质点的位移x和路程s分别为（　　）。[2013年真题]

A．x＝0，s＝6cm

B．x＝6cm，s＝12cm

C．x＝0，s＝12cm

D．x＝6cm，s＝6cm

【答案】C

【解析】由图可知，质点做简谐运动的周期是2s，振幅是3cm。在t＝2s时刻，质点位于简谐运动的平衡位置，所以它的位移是0。在这期间，质点经历了一个周期的运动，它所经过的路程是振幅的4倍，即3cm×4＝12cm。

2．一弹簧振子做简谐运动，关于振子速度和加速度的大小，下列说法正确的是（　　）。[2012年真题]

A．振子加速的过程中，加速度越大，速度越大

B．振子减速的过程中，加速度越小，速度越小

C．振子的加速度不为零时，其速度不能为零

D．振子的速度最大时，其加速度为零

【答案】D

【解析】A项，当质点由端点向平衡位置运动时，做加速运动，在这个运动过程中加速度减小，速度增大，加速度越小，速度越大，即加速度越大，速度越小。B项，当质点由平衡位置向端点运动时，做减速运动，在这个运动过程中加速度增大，速度减小，加速度越大，速度越小，即加速度越小，速度越大。C项，当质点运动到端点时，速度为零，加速度最大，但不为零。D项，当质点在平衡位置时，速度最大，加速度为零。

3．如图所示，用轻绳OA、OB将质量为m的物体悬挂在O点处达到平衡，已知绳OB水平，绳OA与竖直方向的夹角为θ，将A点向左移动，同时缩短OA绳的长度，保持O点在此过程中的位置不变。在这个过程中，关于绳OA、OB所受的拉力F_TA、F_TB，下列说法正确的是（　　）。[2011年真题]

A．F_TA和F_TB都逐渐减小

B．F_TA逐渐增大，F_TB逐渐减小

c．F_TA和F_TB都逐渐增大

D．F_TA逐渐减小，F_TB逐渐增大

【答案】A

【解析】O点受到三个作用力：绳子OA的拉力F_TA，向右倾斜向上，绳子OB的拉力F_TB，水平向左，悬挂着物体的绳子的拉力F_Tm，竖直向下。因为物体静止平衡，所以悬挂物体的绳子对物体的拉力等于物体的重力G，根据牛顿第三定律，可得物体对绳子的拉力F_Tm＝mg。对O点写出力的平衡方程，

在水平方向有

在竖直方向有

由此解得

联立可得

由题意可知，当A点向左移动时，θ角减小，cosθ增大，tanθ减小，因此，F_TA减小，F_TB也减小、

4．一质点在相等的时间内分别沿、、运动，如下图所示，则（　　）。

A．沿三种路径的平均速度相等

B．沿的平均速度最小

C．沿的平均速度最大

D．沿的平均速度最大

【答案】A

【解析】平均速度等于位移除以时间。当质点沿三条不同的路径运动时，因为运动的起点A和运动的终点B相同，所以位移相同。

5．汽车在第1s内通过1m，第2s内通过2m，第3s内通过3m，第ns内通过nm，则汽车的运动是（　　）。

A．初速度为零的匀加速直线运动

B．初速度不为零的匀加速直线运动

C．匀减速直线运动

D．变加速直线运动

【答案】B

【解析】做匀加速直线运动的物体在第ns到第（n＋1）s之间的路程是

同理，在第（n－1）s到第ns之间的路程是

因此，相邻的两段时间中的路程差是

即做匀加速直线运动的物体每隔1s的路程差是相等的，它在数值上等于加速度。有时可以根据这个特点来判断物体是否做匀加速直线运动。

6．物体在光滑水平面上由静止开始运动，它受到水平变力F的作用，F的变化情形如下图所示。物体在做变速运动时（　　）。

A．速度增大，加速度减小

B．速度减小，加速度也减小

C．速度增大，加速度也增大

D．速度减小，加速度增大

【答案】A

【解析】由图可知，F随时间减小而减小，因此物体运动的加速度也在减小。因外力的方向不变，所以物体做加速运动，速度不断地增大。

7．如图所示，质量为m的两个物体紧挨着放在光滑的水平桌面上，用恒力F推m₁，则m₁对m₂的推力为（　　）。

A．F

B．

C．0

D．

【答案】D

【解析】因为m₁和m₂紧挨在一起，所以可以把它们看成一个物体。根据牛顿第二定律知，它们一起运动的加速度为

再对m₂用牛顿第二定律，得m₂受到m₁的作用力为

8．速度的大小和方向都不断改变，但加速度的大小和方向都不变的运动是（　　）。

A．匀速圆周运动

B．自由落体运动

C．平抛运动

D．竖直上抛运动

【答案】C

【解析】A项，在匀速圆周运动中，速度方向时刻变化，但速度大小不变。B项，在自由落体运动中，速度方向不变，但速度大小不断改变。C项，平抛运动中速度的大小和方向不断变化，而加速度为重力加速度g，大小和方向都不变。D项，在竖直上抛运动中，速度大小不断改变，但在上升和下落时，速度的方向不变。

9．在水平匀速飞行的飞机上，相隔1s先后投放两个物体A和B。不计空气阻力，在物体落地后，A将在（　　）。

A．B的前方

B．B的后方

C．B的正下方

D．B的前下方

【答案】C

【解析】A、B都做平抛运动，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。A和B在水平方向的运动情况完全相同，都是以飞机的飞行速度做匀速直线运动，因此它们在水平方向的位移相同。

10．如下图所示，两块物体与地面的摩擦因数相等，它们的质量也相等，作用在两物体上的力与水平方向的夹角都是θ，但一个是拉力，另一个是推力。现在使两物体在地面上匀速地通过相同的位移，则（　　）。

 

A．F₁做功大

B．F₂做功大

C．F₁、F₂做的功相等

D．F₁、F₂做的功的大小无法比较

【答案】B

【解析】F₁、F₂在水平方向的分力为运动的动力，摩擦力为运动的阻力。根据题意，物体做匀速直线运动，即动力与摩擦力的数值相等。在两种不同力的作用下，产生的正压力不等，摩擦力也就不等，F₁、F₂大小不相等，它们做的功也不相等。由于F₂在垂直方向上的分力垂直向下，而F₁在垂直方向上的分力垂直向上，由垂直方向力的平衡明显可知（b）图中的正压力较大，也就是摩擦力较大。水平方向力的平衡可求得F₁小于F₂，因此在通过相同位移时F₂做功大。

11．一个做匀速圆周运动的物体，它运动的半径不变，周期减小到原来的1／4，则它的向心力是原来的（　　）。

A．2倍

B．4倍

C．8倍

D．16倍

【答案】D

【解析】将代入向心力公式中，得，因为R不变，T′＝T/4时，向心力F′＝16F。

12．一根细棒，棒端固定一个小球，在竖直平面内绕另一端O点做圆周运动。已知：棒长是1m，小球质量是0.5kg，在最高点的速度是2m／s，则细棒在此位置上受到（　　）。（取g＝10m／s2）

A．大小为3N的拉力作用

B．大小为3N的压力作用

C．大小为7N的拉力作用

D．大小为7N的压力作用

【答案】B

【解析】设细棒对小球的弹力为F，根据向心力公式有，由此得，代入数据得，表明F_N的方向与G相反，竖直向上。根据牛顿第三定律，小球对细棒的作用力方向竖直向下，是压力。

13．两个质量不同的物体A和B，分别从两个高度相等的光滑斜面和圆弧斜坡的顶点滑向底部，如下图所示。设它们的初速度为零，则（　　）。

A．下滑过程中重力做功相等

B．它们在顶点时的机械能相等

C．它们到达底部时的动能相等

D．它们到达底部时速度的大小相等

【答案】D

【解析】选地面为重力势能零点，则两球在顶点的重力势能为E_PA＝m_Agh，E_PB＝m_Bgh。因为两球在顶点的动能为零，所以它们在顶点的机械能等于它们的重力势能，即E_A＝E_PA＝m_Agh，E_B＝E_PB＝m_Bgh。由题意知，m_A≠m_B，因此E_A≠E_B。A项，当A、B滑到底部时，重力做功等于重力势能的减少，即W_A＝m_Agh，W_B＝m_Bgh，可见W_A≠W_B。B项，A、B的质量不等，在相同的高度，势能不等，无初速度，所以机械能不等。C项，A、B在下滑过程中只有重力做功，机械能守恒。因此，在底部时A、B的动能为E_kA＝E_A＝m_Agh，E_kB＝E_B＝m_Bgh，可见，E_kA≠E_kB。D项，由机械能守恒定律知，由此得，因此，A、B到底部时的速度大小相等。

14．两个质量相同且处于静止状态的物体，从两个高度相等但倾角不同的光滑斜面顶端滑到底端，两物体（　　）。

A．落地时速度相同

B．落地时动量相同

C．落地时动能相等

D．落地时间相等

【答案】C

【解析】因为斜面光滑，所以物体下滑时只有重力做功，机械能守恒。两物体的质量相等，且斜面的高度相同，因此重力势能相等，由此可知它们落地时动能相等。落地时速度大小相等，但因为斜面的倾角不同，即速度的方向不同，所以，速度也不同。同理，两物体动量的大小相等但方向不同，动量也不同。根据常识可知，落地时间t与倾角α的大小有关，具体时间可推算得出。

15．两个物体相互作用时，如果受到的外力矢量和为零，那么（　　）。

A．两物体的总动量守恒，总动能不变

B．两物体的总动量守恒，总动能不一定不变

C．两物体的总动量不守恒，总动能改变

D．两物体的总动量不守恒，总动能不变

【答案】B

【解析】CD两项，把两个物体作为系统，因为系统所受外力的矢量和为零，所以系统的总动量守恒，但系统的动量守恒并不表示动能一定不变。A项，不一定正确，例如做完全非弹性碰撞的物体，动量守恒，但碰撞后的总动能有损失。

16．质点做简谐运动，它的振动图像如下图所示。当t＝1.5s时，质点的运动情况是（　　）。

A．加速度向下，速度向上

B．加速度向下，速度向下

C．加速度向上，速度向上

D．加速度向上，速度向下

【答案】D

【解析】由上图可见，当t＝1.5s时质点的位移沿x轴的负方向，因为简谐运动的加速度方向与位移方向相反，所以质点的加速度沿x轴的正方向。从振动图像中还可以看到，当t稍大于1.5s时，质点的向下位移继续增大，这表明t＝1.5s时质点速度向下。

17．波动从一种介质传播到另一种介质时，不变的物理量是（　　）。

A．传播方向

B．波的频率

C．波长

D．波速

【答案】B

【解析】A项，波在介质的界面会发生折射，传播方向会发生变化。B项，当波动从一种介质进入另一种介质时，波的频率保持不变。C项，根据波速公式，在不同的介质中，波速不同，波长也不同。D项，因为波速决定于介质的性质，所以波在不同的介质中传播的速度不同。

18．简谐波某时刻的波形如图所示，A点在此时刻是向下运动的，则（　　）。

A．波向右传播，B点向上运动

B．波向右传播，B点向下运动

C．波向左传播，B点向上运动

D．波向左传播，B点向下运动

【答案】C

【解析】由波形图知，质点A左面位于波峰处的质点正要向下运动，但A已经由波峰的位置向下运动了一段位移，这表明A点的振动比它左面的质点超前。由此可知波动向左传播；在质点B左面波谷处的质点，正要向上运动，因为B的振动超前，所以质点B已通过波谷而向上运动。

19．如下图所示，一个质量为m的小球，在外力作用下，在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，速率为v，在小球由最低点A运动到最高点B的过程中，外力的冲量的大小是（　　）。（取水平向右为正方向）

A．2mv

B．-2mv

C．mv

D．-mv

【答案】B

【解析】以水平向右为正，质点在A处的速度为正，V_A＝V。质点在B处的速度水平向左，为负，V_B＝－V。因此，质点由A运动到B时，动量的增量为

Δp＝p_B－p_A＝－2mv

由动量定理知，合外力的冲量为

I＝Δp＝－2mv。

二、填空题

1．如下图所示，用力F把质量m＝0.5kg的物体压在竖直的墙壁上。当F＝100N时，物体静止不动，这时，墙壁所受的正压力是____N，物体所受的摩擦力是____N；当F＝40N时，物体恰好开始匀速下落，则物体与墙壁间的摩擦因数是­­­____。

【答案】100；4.9；0.12

【解析】物体受到重力G、外力F、墙壁的弹力F_N和摩擦力F_f的作用。根据平衡条件，在水平方向有

F_N－F＝0

在竖直方向有

F_f－G＝0

因此，当F＝100N时，F_N＝F＝100N，物体对墙壁的正压力也是100N。

摩擦力F_f＝mg＝0.5×9.8N＝4.9N。

根据题意，F＝40N时，物体开始匀速运动，因此滑动摩擦因数为

2．如下图所示，小球A用细线悬于O点，并静止在倾角为α＝30°的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角也是α。已知球的质量为m，则悬线对球的拉力是____，球对斜面的压力是____。

【答案】0.58mg；0.58mg

【解析】小球受力图如下图所示。

在水平方向上，根据受力平衡，有

F_Nsinα－F_Tsinα＝0 ①

在竖直方向上，根据受力平衡，有

F_Ncosα＋F_Tcosα＝G＝mg  ②

由式①、②可得

3．如下图所示，球的质量为m，靠着墙角放置，墙与地面的夹角为60°。在P点加一水平向左的推力F，则墙对球的压力是____，地面对球的支持力是____。

【答案】；mg＋Ftan30°

【解析】以球为研究对象，球受四个力的作用：重力G、推力F、墙的压力和地面的支持力F_N。

根据平衡方程，在水平方向有

cos30°－F＝0   ①

在竖直方向有

F_N－G－sin30°＝0  ②

由式①得

由式②得

F_N＝G＋sin30°＝mg＋Ftan30°

4．物体做匀变速直线运动，速度在2s内由20m／s变为16m／s，则物体加速度的大小是____m/s2，加速度的方向____。物体开始运动的初速度是40m／s，物体静止时运动的路程是____m。

【答案】2；与速度方向相反；400

【解析】由匀变速直线运动的速度公式v＝v₀＋at，得加速度为

代入数据得

a为负值表明加速度方向与速度方向相反，物体做匀减速直线运动。由速度-位移公式v2＝v₀2＋2as，得

把数据代入得

5．做自由落体运动的物体通过最后10m位移所用的时间是1s，物体落地时间是____s，开始下落的高度是____m。

【答案】1.52；11.3

【解析】设落地时刻是t_f，，则落地前1s的时刻是t_f－1。由自由落体运动的位移公式知（t_f－1）时间的位移是

由此知最后1s时间内的位移是

根据题意，s＝10m，代入上式得

解得物体下落时间为

物体下落时的高度为

6．物体无初速度从斜面上匀加速下滑后，又在平面上匀速滑行。若它在斜面和平面上运动的时间都是2s，通过的总路程是12m，则物体在斜面上运动的加速度是____m／s2，物体在平面上运动的速度是____m／s。

【答案】2；4

【解析】匀加速运动的物体经时间t后的末速度为

v＝at　 （1）

物体通过的路程为

在平面匀速滑行的物体经时间t′后的路程为

s₂＝vt′

把式（1）代入上式，得

s₂＝att′  （3）

根据题意，有t＝t′，由式（2）、（3）得物体运动的总路程为

由此解得

由式（1）得物体在平面上运动的速度为

v＝at＝2×2m/s＝4m/s

7．甲、乙两车在同一地点沿相同方向同时开始运动，甲车以36km/h的速度匀速前进，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为0.1m/s2。两车出发后在____s时再相遇，此时它们的位移是____m。

【答案】200；2000

【解析】甲车做匀速直线运动，位移是

s_甲＝vt

乙车做初速度为零的匀加速直线运动，位移是

两车相遇时位移相等，即

s_甲＝s_乙

由此得

解得相遇时间是

把

代入上式得

相遇时甲、乙的位移是

s_甲＝s_乙＝vt＝10×200m＝2000m

8．用弹簧秤拉一物体，使其在水平面上运动，匀速运动时弹簧秤的读数是0.4N；加速度为0.85m／s2时，读数是2.1N，则物体所受的摩擦力是____N，物体的质量是____kg。

【答案】0.4；2

【解析】物体在水平方向上受两个力的作用：弹簧的拉力和摩擦力，弹簧的拉力就是弹簧秤的读数。

当物体做匀速直线运动时，加速度a＝0，根据牛顿第二定律，物体所受的水平方向的拉力等于摩擦力，因此摩擦力为

F′＝0.4N

当物体以加速度a运动时，根据牛顿第二定律有

F-F′＝ma

由此解得物体的质量为

9．一个人用10m／s的速度踢质量为0.2kg的足球，球在地面上运动一段距离后，滚上斜面，在斜面上1m高处速度变为零。则人踢球时做功是_____J，球在运动中克服摩擦力的功是______J。

【答案】10；8.04

【解析】球在运动过程中受重力和摩擦力作用。由于球的位置升高，因此重力做负功，显然摩擦力也做负功。由动能定理知，足球克服重力和摩擦力做的功等于足球动能的减少。

人在踢球时所做的功等于球的初动能，即

足球克服重力做的功为

︱W_G︱＝mgh

足球克服摩擦力做的功为

10．起重机把重物从地面以加速度a＝2m／s2匀加速升高5m，重物的质量是50kg。钢绳的拉力是500N，拉力的功是______J。

【答案】2.95×103

【解析】物体受绳子的拉力F_T和重力G的作用。物体运动的牛顿方程为

F_T－mg＝ma

由此得

F_T＝m（g＋a）＝50×（9.8＋2）＝590N

因此，拉力做的功是

W_T＝FTh＝500×5J＝2.95×103J

11．如下图所示，细杆的一端是转轴O，另一端固定一个小球A，细杆可绕O自由转动，杆长是l。现在给小球以水平速度v₀，使它从竖直位置开始绕O转动。为了使A能通过最高点，v₀至少是______。

【答案】

【解析】小球在转动过程中只有重力对它做功，所以机械能守恒。对于用细杆连接的小球来说，小球通过最高点的条件是它在最高点的速度v≥0。

取圆周的最低点为重力势能的零点，则小球运动初状态的机械能是

它在最高点的机械能为

因为机械能守恒

E₀＝E

所以

由此得

小球能通过最高点的条件是v≥0，代入上式得

12．月球绕地球公转的轨道近似为圆周，圆周半径为3.84×105km，公转周期近似27.3d。月球绕地球公转的线速度是____m／s，角速度是____rad／s。

【答案】10.2×102；2.66×10-6

【解析】周期

角速度

线速度为v＝Rω＝3.84×105×103×2.66×10-6m／s＝10.2×102m／s

13．用4m长的钢丝把质量为200kg的重物挂在吊车上，吊车水平移动的速度是5m／s。当吊车紧急制动时，钢丝对重物的拉力是____N。

【答案】3210

【解析】当吊车紧急刹车时，物体做圆周运动，物体的位置在圆周的最低点，根据向心力公式有，由此得绳子的拉力为，把数据代入得

。

14．质量m＝3.0kg的物体放置在光滑的水平桌面上，在F＝12N的水平力作用下，速度由10m／s增加到22m／s，力作用的时间是______s。

【答案】3.0

【解析】根据动量定理知，F的冲量等于物体动量的增量。对物体用动量定理有Ft＝mv－mv₀，即，代入数据得。

15．下图是简谐波某时刻的波形图。已知波的频率为0.5Hz，P点的速度向下。则波速是____m／s，波的传播方向是____。

【答案】4；从左向右

【解析】由波形图知，波长λ＝8m，因此波速为v＝λf＝8×0.5m／s＝4m／s。由波形图知，当P点还在向下运动时，处在它右面波谷处的质点已结束向下运动而要开始向上运动了。因此P点的振动落后于它右面的质点，这表明波动从左向右传播。

三、计算题

1．如下图所示，物体放在倾角为30°的斜面上，物体静止不动，已知物体的重量是10N，水平推力F为5N，求：

（1）物体对斜面的正压力；

（2）物体与斜面间的摩擦力。

【答案】（1）11.2N；（2）0.67N

【解析】物体受四个力作用：重力G、外力F、斜面的支持力F_N和静摩擦力F_f。如果F_f不存在，重力沿斜面方向的分力Gsin30°大于外力F沿斜面方向向上的分力Fcos30°，因此物体相对运动趋势的方向沿斜面向下，静摩擦力F_f沿斜面向上。

取斜面方向和垂直于斜面方向为分解力的两个方向。根据平衡条件，在斜面方向有

Fcos30°＋F_f－Gsin30°＝0  ①

在垂直于斜面方向有

F_N－Fsin30°－Gcos30°＝0　  　②

由式①得

F_f＝Gsin30°－Fcos30°＝（10sin30°－5×cos30°）N＝0.67N

由式②得

F_N＝Fsin30°＋Gcos30°＝（5×sin30°＋10×cos30°）N＝11.2N

2．如下图所示，质量为m的摆球在A点从静止开始运动，到最低点B处，线被拉断。已知线长L＝1.6m，悬点O离地面为6.6m，空气阻力不计，问：摆球落点距C多远？（取g＝10m／s2）

【答案】4m

【解析】小球的运动分成两个阶段：第一个阶段是小球从A点摆到B点，在这过程中只有重力做功，机械能守恒；第二阶段是从B点开始以水平速度做平抛运动。解题时先根据机械能守恒定律求出小球在B点的速度，再用平抛运动的公式求小球的水平射程。

选B点为重力势能零点，则根据机械能守恒定律有

小球从B点开始以水平速度v_B做平抛运动。从图易见，小球落地点离C点的距离就等于平抛运动的水平射程。因此

显然

代入上式得

把式代入得

代入数据得

3．如下图（a）所示，绳的一端系小球，另一端固定在天花板上，绳长l＝0.5m。小球在水平面内做匀速圆周运动。由于小球与绳子保持在圆锥面上运动，因此这种装置叫做圆锥摆。设小球转速为60r／min，求这时绳与竖直方向之间的角度θ。（取g＝10m／s2）

【答案】60°

【解析】以小球为研究对象。小球受绳的拉力F和重力G的作用，如图（b）所示。小球在水平面内做匀速圆周运动，拉力和重力的合力就是小球匀速圆周运动的向心力F。

（a）　  （b）　 （c）

取平面直角坐标系如图（c）所示，绳子拉力的分量为

F_Tx＝F_Tsinθ，F_Ty＝F_Tcosθ

水平方向的牛顿方程为

F_Tx＝F_Tsinθ＝F 　 （1）

竖直方向的牛顿方程为

F_Ty－G＝0

即

F_Ty＝F_Tcosθ＝mg 　（2）

由式（1）、（2）得

  （3）

根据向心力公式知F＝mω2，把F代入式（3）得

把ω＝2πn，r＝ιsinθ代入，解得

代入数据算得

4．如下图（a）所示，车厢中悬挂着一个质量为m的小球A，它离开车厢地板的高度h＝0.8m，当车厢沿水平方向匀加速运动时，绳子与竖直方向的夹角θ＝37°，现在把绳子剪断，问当A落在地板上时，车厢比小球多向前运动了多少距离？（取）

（a）

（b）

【答案】0.6m

【解析】以小球为研究对象，它受重力和绳子拉力的作用，根据绳子与竖直方向的夹角可以决定车厢运动的加速度，当绳子剪断后，小球做平抛运动，而车厢继续做匀加速直线运动。小球的受力图如上图（b）所示，对它写出牛顿方程式有

F_Tcosθ-mg＝0，F_Tsinθ＝ma

得

　  　 （1）

剪断绳子后小球做平抛运动。它落地的时间是

　 （2）

设绳子剪断时小球和车厢的速度为v₀，则小球落地时水平方向的位移为

s_球＝v_0t

车厢在t时间内前进的位移为

因此车厢比小球多前进了

把式（1）、（2）代入上式得

5．质量m＝24kg的气球，以v₀＝2m／s的速度匀速上升，升到高度h₁＝200m时，从气球上落下一个体积很小，质量m＝4kg的物体，求物体脱离气球5s时气球的高度。（取g＝10m／s2）

【答案】235m

【解析】气球受到三个作用力的作用：重力G，方向竖直向下；动力F（即空气浮力），方向竖直向上；空气阻力为Fˊ，方向竖直向下。当气球匀速上升时有

F－m′g－F′＝0

由此得

F＝m′g＋F′  （1）

从气球上脱落一个物体后，气球的质量减小，重力减小，但F′不变，因此合力向上。可见，气球脱落物体后，做初速度为v₀的匀加速直线运动，当气球匀加速上升时有

F－（m′－m）g－F′＝（m′－m）a

把式（1）代入得

M′g＋F′－（m′－m）g－F＝（m－m）a

由此解得加速度为

  （2）

按照匀加速直线运动的位移公式，5s时气球上升的高度为

把式（2）代入得

把m′＝24kg、m＝4kg、t＝5s、v₀＝2m／s、g＝10m／s2代入得

因此物体脱离气球5s时气球的高度是

h＝h₁＋h₂＝（200＋35）m＝235m

6．如下图所示，质量为2kg的木块在F＝10N的力的作用下沿水平面做匀速直线运动，力F与水平方向的夹角是60°，求木块与平面之间的滑动摩擦因数。

【答案】0.17

【解析】木块受到四个作用力：重力G＝mg，方向竖直向下；桌面的支持力F_N，方向竖直向上；推力F，方向如图所示；摩擦力F_f，方向水平向左。因为有滑动摩擦力，所以本题必须由水平方向和竖直方向的两个牛顿方程式联立，解出F_f和F_N，并由此求摩擦因数μ。

根据牛顿第二定律，在水平方向有

Fcos60°－F_f＝ma＝0  　（1）

在竖直方向有

F_N－Fsin60°－mg＝0　  　 （2）

摩擦因数为

把式（1）、（2）代入上式得

7．一个质量为m的物体原来沿斜面匀速下滑，现对该物体施加一个竖直向下的恒力F，如下图（a）所示，求物体沿斜面运动的加速度。

（a）

（b）

【答案】0

【解析】以物体为研究对象。它原来受到三个作用力：重力G，斜面支持力F_N，摩擦力F_f，上图（b）是物体的受力图。当物体做匀速直线运动时，三个力平衡，合外力为零。因此沿斜面方向有

mgsinα－F_f＝0

垂直于斜面方向有

F_N－mgcosα＝0

由此得滑动摩擦因数

在对物体施加竖直向下的力F后，物体受四个力作用：G、F、F_N、F_f。因此它在竖直方向所受的力由原来的G变为G＋F，牛顿方程变为

（F＋mg）sinα－F_f＝ma 　（1）

F_N－（F＋mg）cosα＝0  （2）

由式（1）、（2）得

由此解得

因为tanα＝μ，所以

讨论:当物体与斜面之间的摩擦因数μ＝tanα时，不管物体的质量是多少，物体总可以在斜面上保持平衡状态。在对物体施以竖直向下的外力F后，物体在竖直方向的受力情况与质量为的物体情况一样，也就是相当于把质量为的物体放在斜面上。由于μ＝tanα，因此立即可以判断物体的加速度为零。

8．在倾角为30°的斜面上，一个物体以初速度10m／s向上滑行，它向上滑了8m后又开始向下滑行，求：（取g＝10m／s2.）

（1）物体沿斜面向上滑行的加速度；

（2）物体与斜面间的摩擦因数。

【答案】（1）6.25m/s；（2）0.144

【解析】（1）根据匀减速直线运动的速度-位移公式知，物体在斜面上向上滑行时的加速度是

 

（2）物体向上运动时，摩擦力F_f的方向沿斜面向F，受力图如下，因此物体的牛顿方程为

mgsinα＋F_f＝mα   （1）

F_N－mgcosα＝0　  　 （2）

即

F_f＝m（a－gsinα）  　 （3）

F_N＝mgcosα  （4）

由式（3）、（4）得摩擦因数为

代入数据得

9．汽车的质量为m，行驶速度为v。求汽车在以下各情况中对桥面的压力：

（1）通过水平桥面；

（2）通过半径为R的凸形桥面最高点；

（3）通过半径为R的凹形桥面最低点。

【答案】（1）mg；（2）（mg－mv2／r）；（3）（mg＋mv2／r）

【解析】如图所示，汽车在三种情况中，都在竖直方向受到重力G和桥面支持力F_N的作用。F_N的反作用力就是所要求的汽车对桥面的压力。

（1）汽车做匀速直线运动，竖直方向无加速度，因此

F_N－G＝0

按牛顿第三定律，得

F′_N＝F_N＝mg

（2）汽车做匀速圆周运动，最高点处向心加速度向下，因此合外力方向向下，大小等于（G－）。合外力就是向心力，因此

（3）汽车仍做匀速圆周运动，最低点处的向心加速度向上，因此合外力方向向上，大小等于（F_N－G）。由向心力公式，有

在三种情况中，凸形桥面所受的压力最小。因此，常见的桥多是凸形桥。