2.3　平面机构的自由度计算

运动链需满足一定的条件才能成为机构。一般通过计算自由度，可判别由多个构件与运动副组成的运动链能否成为机构。

2.3.1　平面机构的自由度计算公式

在平面机构中，设机构的总构件数为N。由于机架是固定构件，其自由度为零，则活动构件数n=N-1。一个活动构件在用运动副连接前有3个自由度，则全部活动构件的总自由度数为3n。若机构中的低副数为PL个，高副数PH个。当构件经运动副连接后，其自由度必然减少，全部运动副在机构中所引入的约束总数为2PL+PH。用机构中活动构件的总自由度数3n减去运动副引入的约束总数2PL+PH，便是该机构的自由度F。可表示为：

F=3n-（2PL+PH）（2-2）

例2-1　计算图2-14所示活塞泵的自由度。

解：活塞泵具有4个活动构件，即n=4；含5个低副（4个转动副与1个移动副）和1个高副，即PL=5，PH=1。按式（2-2）计算有：

F=3×4-2×5-1=1

活塞泵机构的自由度等于1。

2.3.2　运动链成为机构的条件

一个运动链能否成为机构，是评价机构设计方案的关键内容。

运动链要成为机构，首先其自由度必须大于零，即F＞0。如图2-15所示的运动链，其n=2，PL=3，PH=0，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×3+0）=0

表明该运动链的各构件之间无相对运动，仅是一个刚性桁架。

设一个原动件仅提供一个独立运动。当运动链的自由度大于零时，还要求它的原动件数与自由度数相等。如图2-16所示的运动链，其n=3，PL=4，PH=0，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×4+0）=1

取构件1为原动件，不考虑摩擦和重力影响，由几何关系知：每给定构件1的一个转角Φ1，构件2与3便有确定的相对位置，即该运动链能成为机构。若同时取构件1和3为原动件，则构件2可能会被破坏。

又如图2-17所示的运动链，其n=4，PL=5，PH=0，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×4-（2×5+0）=2

若仅取构件1为原动件，由几何关系知：每给定构件1的一个转角Φ1，构件2、3与4的位置无法确定，处于无序运动状态，该运动链不能成为机构。当取构件1和4为原动件，由几何关系知：给定构件1和4的一个转角Φ1、Φ4，构件2与3便有确定的相对位置，即该运动链能成为机构。

综上所述，运动链要成为机构的条件是：运动链的自由度数必须大于零，且原动件数等于选定机架后运动链的自由度数。

2.3.3　平面机构自由度计算时的注意事项

在利用公式（2-1）计算平面机构自由度的过程中，还应注意以下三方面的问题。

2.3.3.1　复合铰链

两个以上构件在同一处由转动副相连接时，所构成的运动副被称为复合铰链，如图2-18（a）所示，三个构件在A处用转动副连接。从图2-18（b）所示的侧视图可知，三个构件共组成两个转动副。若有k个构件在同一处组成复合铰链，则所构成的转动副应为（k-1）个。

图2-19所示的摇筛机构中，活动构件数n=5，A、B、D、E和F各是一个转动副。在C处构件2、3与4组成复合铰链，包含两个转动副，有PL=7，PH=0，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×5-（2×7+0）=1

2.3.3.2　局部自由度

图2-20（a）所示为凸轮机构，其n=2，PL=2，PH=1，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×2+1）=1

可将凸轮1的转动变换为从动件2的往复移动。

为了减少高副元素的磨损，工程中常应用如图2-20（b）所示的结构，在凸轮1与从动件2之间安装一个滚子3，其n=3，PL=3，PH=1，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×3+1）=2

这是因为滚子3能绕自身轴转动，引入了一个自由度，而这个自由度对整个机构的运动不产生影响，一般被称为局部自由度。在计算机构自由度时，应除去由滚子3带来的局部自由度，可将图2-20（b）中的构件2与滚子3刚化成图2-20（a）中的构件2，然后计算其自由度。

2.3.3.3　虚约束

如图2-21所示的平面连杆机构中，已知AB//CD、AE//DF，并且AB=CD、AE=DF。由几何关系可知，在机构的运行过程中，点E与点F之间的距离始终相同。若增加转动副E、F和构件5，机构的运动并未发生变化。由构件5和转动副E、F在机构中引入的是重复约束，被称为虚约束。在计算机构自由度时应去除。

虚约束一般具有一定的特殊几何关系，通常发生在以下场合。

（1）两构件间构成的多个平行运动副。如图2-22所示，构件1（转子）与2之间组成两个同轴线的转动副A和A′。如图2-23所示，构件2与3之间组成两个导路相互平行的移动副B和B′。如图2-24所示，构件1与2组成两个接触点间距为常数的高副C和C′。在这多个运动副中，仅有一个运动副起约束作用，其余均为虚约束。

（2）连接构件与被连构件上连接点处的轨迹重合。如图2-25所示椭圆规机构中，已知BC=CD=AC，∠BAD=90°；由几何关系可知D点的运动轨迹必沿AD方向。由于D处的滑块沿导路AD的运动轨迹与其重合，引入的约束对机构运动无影响，所以为虚约束。

（3）机构中对运动无影响的对称部分。如图2-26所示周转轮系，轮系中有两个行星轮。虽然运动传递仅要求一个行星轮，但对称增加的行星轮却使轮系受力均衡且能传递更大动力。由于对称部分引入的约束对机构运动无影响，所以为虚约束。

虽然虚约束对机构的运动无影响，但却能解决许多工程问题，如增大机构刚度、改善构件受力等。当机构使用虚约束时应慎重，必须严格保证设计、加工、安装的精度，以满足虚约束所需的特定几何条件。

例2-2　计算图2-27（a）所示大筛机构的自由度。

解：机构在F处的滚子是一个局部自由度，必须与顶杆刚化。顶杆与机架间的移动副E和E′因导路平行属虚约束，可将其E′去除。因3个构件在C处用转动副连接，属复合铰链（含2个转动副）。在化简后的机构运动简图2-27（b）中，已知n=7，PL=9，PH=1，则：

F=3n-（2PL+PH）=3×7-（2×9+1）=2

该机构的自由度F与其原动件数均为2。给定曲柄1和凸轮7的运动，滑块6可实现预期的往复运动。

思考题与习题

2-1　运动链成为机构的条件是什么？

2-2　计算机构自由度时应注意什么问题？

2-3　绘制题图2-1所示机构的运动简图。

2-4　计算题图2-2～题图2-9所示各机构的自由度，并指出其中的复合铰链、局部自由度和虚约束。