1.1 基本概念

1.1.1 随机试验与事件

在概率论与数理统计中，“试验”是一个广泛的术语．我们把在一定条件下对某种现象的一次观察、测量或进行一次科学实验，统称为一个试验．一般称满足下面两个条件的试验为随机试验：

（1）在相同条件下可以重复进行；

（2）每次试验结果事先不可预知，但所有可能的试验结果事先知道．

一般用字母E表示随机试验．下面是一些随机试验的例子．

E1：抛掷一颗骰子，观察出现的点数；

E2：将一枚硬币连续抛掷两次，观察其正反面出现的情况；

E3：将一枚硬币连续抛掷两次，观察其正面出现的次数；

E4：观察一天内进入某个超市的顾客人数；

E5：观察某型号电视机的使用寿命t；

E6：记录某地区一昼夜的最低气温x和最高气温y．

对一个随机试验，我们把所有可能的试验结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω．样本空间中的每个元素称为样本点．在上述6个试验中，若以Ωi表示试验Ei的样本空间，则

Ω1=｛1，2，3，4，5，6｝；

Ω2=｛HH，HT，TH，TT｝，其中H表示正面，T表示反面；

Ω3=｛0，1，2｝；

Ω4=｛0，1，2，…｝；

Ω5=｛t|0≤t<∞｝；

Ω6=｛（x，y）|T0≤x≤y≤T1｝，其中T0和T1分别表示这一地区的最低气温和最高气温．

对于样本空间应注意下面几点：

（1）样本空间是一个集合，它由样本点组成，可以用列举法或描述法来表示；

（2）在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的，样本点个数可以是有限个，也可以是无限的；

（3）对于一个随机试验而言，试验的目的不同，样本空间往往也不同．例如，E2和E3虽然都是将一枚硬币抛掷两次，但由于试验目的不同，因此样本空间不同，E2的样本空间为Ω2=｛HH，HT，TH，TT｝，E3的样本空间为Ω3=｛0，1，2｝．

我们把样本空间的任一个子集称为一个随机事件，简称为事件，常用大写字母A，B，C，…表示．因此，随机事件就是随机试验的某些结果（样本点）组成的集合．特别地，由一个样本点组成的单点集合称为基本事件．在一个试验中，事件A发生当且仅当A中某个样本点出现，这就是事件A发生的含义．

例1.1.1　在抛掷一颗骰子的试验中，若用A表示“出现偶数点”，B表示“出现奇数点”，C表示“出现3点或3点以上”．假设试验的目的是观察出现的点数，试写出样本空间，并用样本点表示事件A，B，C．

解　该试验有6个可能的结果，样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，事件A，B，C分别表示为A=｛2，4，6｝，B=｛1，3，5｝，C=｛3，4，5，6｝．

例1.1.2　从一批计算机中任取一台，观察其无故障运行的时间T（单位：小时）．A为事件“恰好运行240小时”，B为事件“运行240.2小时以上”，C为事件“运行时间大于270.5小时，小于等于480.7小时”．试写出样本空间，并用样本点子集表示事件A，B，C．

解　样本空间为Ω=｛T|T≥0｝，事件A，B，C分别表示为A=｛T=240｝，B=｛T|T>240.2｝，C=｛T|270.5<T≤480.7｝．

样本空间Ω是其自身的一个子集，因此它也是一个事件，由于它包含所有样本点，所以每次试验它必然发生，因此Ω表示必然事件．空集Ø不包含任何样本点，每次试验它都不会发生，故Ø表示不可能事件．虽然它们不是真正的随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们视为特殊的随机事件．

1.1.2 事件的关系与运算

因为事件是集合，即样本空间的子集，所以事件之间的关系和运算可以按照集合之间的关系和运算来处理．根据“事件发生”的含义，我们不难给出事件的关系与运算的定义和规则．

设Ω是样本空间，A，B，C及A1，A2，…都是事件，即Ω的子集，它们有以下关系．

1. 包含关系

若A的发生必然导致B的发生，则称B包含A或A是B的子事件，记为B⊃A或者A⊂B，即A的元素全属于B，如图1.1所示．

2. 相等关系

若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记为A=B．

3. 事件的和

对两个事件A和B，定义事件

C=｛A发生或B发生｝，

称其为A与B的和事件，记为C=A∪B．事件A∪B发生，即A发生或B发生，意味着A与B至少有一个发生，如图1.2所示．

和事件可以推广到多个事件的情形．设有n个事件A1，A2，…，An，定义它们的和事件为

对无穷多个事件A1，A2，…，An，…，可以类似地定义它们的和事件为

4. 事件的积

对两个事件A和B，定义事件

C=｛A发生且B发生｝，

称其为A与B的积事件，记为C=A∩B（或C=AB）．事件AB发生意味着A发生且B发生，即A与B同时发生，如图1.3所示．

类似地，可以定义多个事件A1，A2，…，An，…的积事件．根据事件的个数为有限和无限情况分别有下列积事件：

5. 事件的差

对两个事件A和B，定义事件

C=｛A发生且B不发生｝，

称其为A与B的差事件，记为C=A－B（或C=A\B），即A发生但B不发生的事件，如图1.4所示．容易知道A－B=A－AB．

6. 互斥事件

若两个事件A与B不能同时发生，即AB=Ø，则称A与B是互斥事件，或称它们互不相容，如图1.5所示．若事件A1，A2，…，An中任意两个都互斥，则称事件组A1，A2，…，An两两互斥．

当事件A与B互斥时，可记它们的和事件A∪B为A+B；对于两两互斥的多个事件的和事件有类似的记法．

7. 对立事件

“A不发生”的事件称为A的对立事件，记为Ā，即Ā=Ω－A，如图1.6所示，并称A与Ā为互逆事件，它们是互为对立的事件，满足A∪Ā=Ω，AĀ=Ø，=A．

例如，在抛掷硬币的试验中，设A为“出现正面”，B为“出现反面”，则A与B互斥且A与B互为对立；在掷骰子的试验中，设A为“出现1点”，B为“出现3点以上”，则A与B互斥，但A与B不是对立事件．

利用事件对立关系容易知道，对于任意事件A和B，．

设A，B，C为事件，根据集合的运算规则，有以下事件运算规则．

（1）交换律：A∪B=B∪A；AB=BA．

（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（AB）C=A（BC）．

（3）分配律：A（B∪C）=（AB）∪（AC）；A∪（BC）=（A∪B）（A∪C）．

（4）对偶律：

对于多个事件情况，上述运算规则仍然成立．例如：

上述运算规则也可以推广到无穷多个事件的情况．

例1.1.3　向指定目标连续射击三次，观察击中目标的情况．分别用A1，A2，A3表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，试用A1，A2，A3表示以下各事件．

（1）只第一次击中；

（2）只击中一次；

（3）三次都未击中；

（4）至少击中一次．

解　（1）事件“只第一次击中”，意味着第二次和第三次都不中．所以，该事件可表示为A1Ā2Ā3．

（2）事件“只击中一次”，并不指定哪一次击中，意味着三个事件“只第一次击中”、“只第二次击中”和“只第三次击中”至少有一个发生，即它们的和事件发生．由于上述三个事件两两互斥，所以，该事件可表示为A1Ā2Ā3+Ā1A2Ā3+Ā1Ā2A3．

（3）事件“三次都未击中”，就是事件“第一、二、三次都未击中”，该事件可表示为Ā1Ā2Ā3或

（4）事件“至少击中一次”，就是事件“第一、二、三次射击中至少有一次击中”，所以，该事件可表示为A1∪A2∪A3．