第五节 经济增长率与各要素投入增长率关系公式

在本章第二节的分析中已经看到，生产方面决定的经济增长率（总产出增长率）可以表示为总投入增长率与全要素生产率增长率之和。然而，总投入是由各类具体的要素投入构成的，到目前如何计算总投入增长率尚未论及。于是，现在的问题归结为：如何利用已知的各具体的要素投入来计算总投入的增长率。

这一问题等同于探寻总投入增长率与各要素投入增长率的关系。显然，如果总投入是由单一要素投入构成的，那么此种情况下的总投入增长率计算是相对容易的，因为这种情况下的总投入增长率即为单一变量的增长率。然而，现实经济中的总投入通常是由多要素投入构成的，因此如何计算由多要素投入构成的总投入的增长率才是常见的情况。例如，资本投入和劳动投入通常是构成总投入的两大类基本要素投入。为此，下面首先讨论总投入只含有资本与劳动两类要素投入的情况。对含有n类要素投入的总投入增长率计算，将在后面有关部分再讨论。

现假设总投入Z是由资本投入K和劳动投入L构成的，亦即总投入Z是关于K和L的函数，由此可用下面的函数形式表示：

现需要提醒注意的是，这里的Z=Z（K,L）不是生产函数，其计算结果是度量总投入的指数。或者说，这里的Z=Z（K,L）所表现的函数关系不是有关生产的技术关系，而是决定K和L如何进行“汇总”的“核算”关系。即，Z=Z（K,L）决定了要素投入K和L如何“汇总”成总投入Z。然而，Z可以理解成是关于K和L的函数，因为只要K和L既定，则Z=Z（K,L）既定。因此，从函数的角度看，称Z=Z（K,L）为总投入函数。

进一步假设总投入函数Z=Z（K,L）的对数关于K和L的对数是可导的，同时假设K和L随时间T变化，并且K和L的对数分别关于时间的对数T也是可导的。综合起来，将前面所列或已有假设的方程归并在一起，得到如下的方程组：

现对（2-15）式两边取对数，并求关于时间T的导数得到下面的关系式：

分析（2-17）式中项的含义。在数学上是总投入Z的对数关于时间T的偏导数，即当其他变量不变的情况下总投入Z的对数关于时间T的导数。由于总投入指数本质上是度量总体投入水平的一种算法，这意味着在既定的算法下总投入指数Z不会因为时间T变动而变动。或者说，如果各要素投入既定，则总投入指数的计算结果，不会因为计算总投入指数的时间不同而不同。其意义是（2-17）式中的。

于是，（2-17）式实际为下面的表达式：

由于Y=AZ，因此有下面的关系式：

对（2-19）方程两边求关于lnK的偏导数，得到下面关系式：

由（2-20）式得：

同样，再对（2-19）方程两边求关于 lnL的偏导数，得到下面关系式：

由（2-22）式得：

将（2-20）式和（2-23）式分别代入（2-18）式得：

展开整理得：

即

（2-24）式即总投入指数增长率分解为由各要素投入增长率表示的公式。这里需要注意到，在（2-24）式的右端表达式中，已经没有关于Z的表达式。其意义是，总投入增长率的结果可以表示为由产出、要素投入和全要素生产率决定的关系。

同时还需要注意到，在（2-24）式中的表达式即为AKL，因此（2-24）式可以表示为：

而在前面的论述中已知，AKL体现的是技术因素影响要素投入规模变动进而对全要素生产率增长率的影响效应。显而易见，为资本产出弹性系数，为劳动产出弹性系数，因此（2-25）式表明，总投入增长率等于要素投入增长率的加权和减去技术规模变动率。

由于为技术资本弹性系数γK,为技术劳动弹性系数γL，因此（2-24）式的经济含义是：

因此，根据（2-19）式，经济增长率（总产出增长率）为下面的表达式：

即

（2-27）式的经济含义是：

请注意，（2-28）式中含有全要素生产率A的项合并在一起为“全要素生产率增长率-资本全要素生产率弹性系数×资本投入增长率-劳动全要素生产率弹性系数×劳动投入增长率”。在下一节的分析可以看到，这些项的合并结果是纯技术进步率。