任务2.2 地基附加应力计算

地基中的附加应力是指受外荷载作用下附加产生的应力增量。目前附加应力的计算，通常是假定地基土体为均匀、连续、各向同性的半无限空间弹性体，按照弹性理论计算，其结果可满足工程精度要求。

2.2.1 竖向集中力作用下地基中的附加应力

在半无限空间土体上作用有一竖向集中力P，如图2.8所示，该力在土体内任一点M（x，y，z）引起的竖向附加应力σ_z（kPa）可用下式计算，即

式中 K——竖向集中力作用下的地基竖向附加应力数，由表2.1查取。

由式（2.9）计算所得的附加应力σ_z的分布，如图2.9所示。

从图中可以看出，在某深度的水平面上，距集中力的作用线越远，σ_z 越小，σ_z沿水平面向外衰减；在集中力作用线上深度越大，σ_z 越小，σ_z沿深度向下衰减，这是因为应力分布面积随深度而增大所致。这种现象称为附加应力的扩散现象。

如果地基上有多个相邻竖向集中力P₁、P₂、P₃、…作用时（图2.10），它们在地基中任一点M产生的附加应力，可根据叠加原理利用式（2.10）计算，即

在相邻多个集中力作用下，各个集中力都向土中产生应力扩散，结果将使地基中的σ_z增大，这种现象称为附加应力积聚现象，如图2.11所示。

在工程中，由于附加应力的扩散与积聚作用，邻近基础将互相影响，引起附加沉降，这在软土地基中尤为明显。例如，新建筑物可能使旧建筑物发生倾斜或产生裂缝；水闸岸墙建成后，往往引起闸底板开裂等。

2.2.2 矩形基础地基中的附加应力

设矩形基础的长度为l，宽度为b，矩形基础通常是指l/b＜10（水利工程l/b＜5）的基础，矩形基础下地基中任一点的附加应力与该点对x、y、z三轴的位置有关，故属空间问题。

1.均布竖向荷载情况

作用于地基上的均布竖向荷载为p₀，如图2.12所示。在基础角点下任意深度处产生的竖向附加应力σ_z（kPa）可用下式求得，即

式中 K_c——矩形基础受均布竖向荷载作用时角点下的附加应力系数，可由l/b与z/b的值查表2.2。

若附加应力计算点不位于角点下，可将荷载作用面积划分为几个部分，每一部分都是矩形，且使要求得应力之点位于划分的几个矩形的公共角点下面，利用式（2.11）分别计算各部分荷载产生的σ_z，最后利用叠加原理计算出全部的σ_z，这种方法称为角点法，如图2.13所示。

（1）计算点N在基底面内。如图2.13（a）所示，则

σ_z=（K_c1+K_c2+K_c3+K_c4）p₀

（2）计算点N在基底边缘下。如图2.13（b）所示，则

σ_z=（K_c1+K_c2）p₀

（3）计算点N在基底边缘外侧。如图2.13（c）所示，则

σ_z=（K_c1+K_c2-K_c3-K_c4）p₀

（4）计算点N在基底角点外侧。如图2.13（d）所示，则

σ_z=（K_c1-K_c2-K_c3+K_c4）p₀

下标1、2、3、4分别为矩形Neag、Nfbg、Nedh和Nfch的编号。

需要指出，矩形基础受竖向均布竖向荷载作用情况下，在应用角点法计算附加应力，确定每个矩形荷载的K_c值时，l始终为矩形基底的长度，b始终为基底的短边。

【例2.2】某矩形基础，基底面积为4m×6m，如图2.14所示，其上作用有均布荷载p₀=200kPa，求B、C、D、E各点下处的竖向附加应力。

解：

（1）B点。通过B点将基础底面划分成四个相等矩形，由l₁/b₁=3/2=1.5，z/b₁=2/2=1.0，查表2.2得K_c1=0.1933，则

σ_z=4K_c1p₀=4×0.1933×200=154.6（kPa）

（2）C点。通过C点将基础底面划分成四个小矩形。l₁=l₂=2m，b₁=b₂=1m，l₃=l₄=5m，b₃=b₄=2m。由l₁/b₁=2/1=2.0，z/b₁=2/1=2.0，查得K_c1=0.1202。

由l₃/b₃=5/2=2.5，z/b₃=2/2=1.0，查得K_c3=0.2017，则

σ_z=2（K_c1+K_c3）p₀

=2×（0.1202+0.2017）×200=128.8（kPa）

（3）D点。通过D点将基础底面划分成左右二个小矩形，l₁=l₂=6m，b₁=b₂=2m，由l₁/b₁=6/2=2.0，z/b₁=2/2=1.0，查得K_c1=0.2034，则

σ_z=2K_c1p₀=2×0.2034×200=81.4（kPa）

（4）E点。由l/b=6/4=1.5，z/b=2/4=0.5，查得K_c=0.2370，则

σ_z=K_cp₀=0.2370×200=47.4（kPa）

2.三角形分布竖向荷载情况

设矩形基础上作用的竖向荷载沿宽度b方向呈三角形分布（沿l方向的荷载不变），最大荷载强度为p_t，如图2.15所示。

对于零角点下任意深度处的σ_z（kPa），可用下式求得，即

式中 K_t——矩形基础受三角形分布竖向荷载作用时零荷载角点下的附加应力系数，可由l/b与z/b的值查表2.3。查表时b始终为沿荷载变化方向的基底边长，另一边为l。

对于荷载最大值角点下的σ_z，可利用均布荷载和三角形荷载叠加而得，即

σ_z=（K_c-K_t）p_t

对于矩形基底内、外各点下任意深度处的附加应力，仍可用角点法进行计算。

3.均布水平荷载情况

矩形基础受水平均布荷载作用，如图2.16所示。在基础角点下的σ_z，可用下式计算：

式中 K_h——矩形基础受水平均布荷载作用时角点下的附加应力系数，可由l/b与的值z/b的值查表2.4，查表时b始终为平行于水平荷载方向的基底边长，另一边为l。

4.梯形竖向荷载及均布水平荷载情况

矩形基础受梯形竖向荷载及均布水平荷载作用，这种情况在水利工程中经常遇到。可将荷载分为均布竖向荷载、三角形分布竖向荷载及均布水平荷载，分别按前述的三种情况计算附加应力，然后叠加，即可得出地基内任意点的附加应力。

2.2.3 条形基础地基中的附加应力

当基础的长宽比l/b=∞时，其上作用的荷载沿长度方向分布相同，则地基中在垂直于长度方向，各个截面的附加应力分布规律均相同，与长度无关，此种情况地基中的应力状态属于平面问题。在实际工程中，当基础的长宽比l/b≥10（水利工程中l/b≥5）时，可按条形基础计算地基中的附加应力。

1.均布竖向荷载情况

如图2.17所示，宽度为b的条形基础底面上，作用有均布竖向荷载p。将坐标原点O取在基础一侧的端点上，荷载作用的一侧为x正方向，则地基中任意点M的竖向附加应力σ_z，可用下式求得，即

式中——条形基础受均布竖向荷载作用下的竖向附加应力系数，可由x/b与z/b的值查表2.5。

2.三角形分布竖向荷载情况

如图2.18所示，宽度为b的条形基础底面上，作用有三角形分布的竖向荷载，其荷载最大值为p_t。现将坐标原点O取在荷载强度为零侧的端点上，以荷载强度增大方向为x正方向，则地基中任意点M的竖向附加应力σ_z，可用下式求得，即

式中——条形基础受三角形分布竖向荷载作用下的竖向附加应力系数，可由x/b与z/b的值查表2.6。

3.水平均布荷载情况

如图2.19所示，宽度为b的条形基础底面上，作用有水平均布荷载p_h。将坐标原点O取在水平荷载起始端点侧，以水平荷载作用方向为x正方向，则地基中任意点M的竖向附加应力σ_z，可用下式求得，即

式中——条形基础受水平均布竖向荷载作用下的竖向附加应力系数，可由x/b与z/b的值查表2.7。

4.梯形竖向荷载及均布水平荷载情况

条形基础受梯形竖向荷载及均布水平荷载作用，这种情况在水利工程中经常遇到。此时，可将荷载分为均布竖向荷载、三角形分布竖向荷载及均布水平荷载，分别按前述的三种情况计算附加应力，然后进行叠加即可。

【思考题】

（1）何谓附加应力?地基中附加应力有何分布规律?

（2）相邻荷载有何影响?

【例2.3】某水闸基础b=15m、长度l=150m，其上作用有偏心竖向荷载与水平荷载，如图2.20所示。试绘出基底中心点O以及A点以下30m深度范围内的附加应力的分布曲线（基础埋深不大，可不计埋深的影响）。

解：

（1）基底压力的计算。因l/b=150/15=10，故属条形基础。

1）竖向基底压力。

2）水平基底压力。

（2）基础中心O点下的竖向附加应力在计算时，应用叠加原理，将梯形分布的竖向荷载分解成两部分，即均布竖向荷载p₀=80kPa和三角形分布竖向荷载p_t=40kPa，另有水平均布荷载p_h=40kPa，即

O点下不同深度的附加应力计算结果见表2.8。根据计算结果绘出O点下的σ_z沿深度分布曲线，如图2.20所示。

（3）基底A点下的竖向附加应力。计算过程同上，σ_z的计算结果见表2.9，σ_z分布曲线见图2.20。