2．4　边界条件

当物体处于平衡状态时，内部各点需满足平衡微分方程式（2．3．3），而边界上应满足边界条件。边界条件可以分成3类：①应力边界条件；②位移边界条件；③混合边界条件。以下分别介绍它们的表示方法。

2．4．1　应力边界条件

当物体的边界上给定面力时，称为应力边界条件，该边界称为给定面力的边界，用Sσ表示。利用斜截面上的应力公式（2．2．1），应力边界条件可以表示为

式中：分别为给定面力在3个坐标轴方向的分力；nx、ny、nz分别为表面外法线方向n的3个方向余弦，nx＝cos（n，x），ny＝cos（n，y），nz＝cos（n，z）。

式（2．4．1）也可简写为张量形式。

式中：nj＝cos（n，xj）为斜截面法向矢量的分量。

2．4．2　位移边界条件

当物体的边界给定位移时，称为位移边界条件，该边界称为给定位移的边界，用Su表示。位移边界条件可以表示为

注意u＝（u，v，w）为矢量，上式可用分量表示为

2．4．3　混合边界条件

混合边界条件有两种情况：第1种情况是整个边界S上，一部分是已知面力的边界Sσ，另一部分是已知位移的边界Su；第2种情况是同一边界上部分已知面力，部分已知位移，如图2．4．1所示边界SAB就是这种情况，其边界条件为

【例2．4．1】　平面问题的坐标系选择如图2．4．2所示，且与z轴相关的应力分量都为0，即σz＝0，τxz＝0，τyz＝0，试求自由边界（外法线为n）上的应力边界条件。

解：（1）图2．4．2（a）。根据题设条件和外法线n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）简化为

其中外法线的方向余弦nx＝cos（n，x）＝1，ny＝cos（n，y）＝0，＝0，＝0，代入上式得到S边界上的边界条件：

（2）图2．4．2（b）。根据题设条件和外法线n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）简化为

其中外法线的方向余弦nx＝cos（n，x）＝cosθ，ny＝cos（n，y）＝sinθ，＝0，＝0，代入上式得到S边界上的边界条件

【例2．4．2】　水坝承受水压力问题，坐标系选择如图2．4．3所示，与z轴相关的切应力分量都为0，即τxz＝0，τyz＝0，已知水的密度为ρ，试写出水坝光滑的OA面的应力边界条件。

解：根据题设条件，OA面外法线n的方向余弦nz＝0，式（2．4．1）简化为

上式中外法线的方向余弦nx＝cos（n，x）＝－1，ny＝cos（n，y）＝0，＝－ρgy，＝0，由此可得OA面的边界条件为