2.2　基于参数化水平集的拓扑优化模型

在结构拓扑优化设计的研究领域，最为常见的优化问题为结构刚度最大化拓扑优化设计问题。在工程上，刚度和柔度是用来衡量结构静态性能的一对含义完全相反的量，在优化建模中，通常需要使目标函数最小化，因此通常可将结构刚度最大化问题等价为结构柔度最小化问题进行处理。以材料的体积分数为设计约束，基于参数化水平集的结构柔度最小化问题的优化模型可以构建为

上述模型中，α_i（i=1，2，…，N）为径向基函数插值的扩展系数，在参数化水平集方法中为优化设计变量。N代表水平集网格中节点的数量，亦即径向基函数插值点的数量。α_max和α_min分别为设计变量的上下限，主要用于增加优化迭代的稳定性。G为优化模型的体积约束，V_max是允许使用的最高材料用量。u和v分别表示实位移场和运动学允许的位移空间U内的虚位移场。u₀为Dirichlet边界Γ_D上的位移。H（Φ）为Heaviside函数，δ（Φ）为Dirac函数[11]，用于计算Heaviside函数的偏导数。在优化模型式（2-30）中，优化目标为结构的应变能，可表达为如下形式：

上述公式中D_pqrs代表材料的弹性张量。弹性平衡条件的弱形式为a(u，v，Φ)=l(v，Φ)，能量双线性形式a(u，v，Φ)和载荷线性形式l(v，Φ)可分别表示为

其中，ε代表应变场；p为结构体积力；τ为Neumann边界Γ_N上的牵引力；u₀为Dirichlet边界Γ_D上的位移。