2.6　数值算例

本部分将通过二维和三维结构设计实例来说明所提出方法的特点。如前述假设，CSRBF的节点与有限元网格节点坐标一致，尺度因子d_max取值为4。人工材料模型中的实体部分弹性模量为180GPa，孔洞部分弹性模量为0.18GPa，泊松比为0.3。优化问题的算法终止条件为相邻两次迭代目标函数的相对容差小于1E-4。所有实例均采用MATLAB编程，且在CPU主频2.6GHz、内存8GB的计算机上运行。

2.6.1　二维悬臂梁结构刚度拓扑优化设计

图2-5给出了某二维悬臂结构的设计空间，结构设计域的长宽比为2∶1。结构左端约束其全部自由度，右端的中点处施加大小为10kN的向下集中载荷。这里的优化目标设置为结构柔度最小化，设计约束为材料的体积分数不超过50%。

首先将二维悬臂梁的设计域离散为80×40个四节点有限单元，于是CSRBF插值矩阵中将含有（81×41）2=11 029 041个元素。利用DWT技术对CSRBF插值矩阵进行压缩的关键是选定合适的阈值调整参数κ，见式（2-28）。首先令κ=20，以观测参数化水平集方法优化效果。

阈值调整参数κ=20时的结构优化过程如图2-6所示，所对应的高一维水平集函数变化如图2-7所示。观察优化过程可以发现，参数化水平集方法很好地保留了传统水平集方法在精确捕捉结构拓扑和边界形状方面的优势。此外，最优结构拓扑也表现出了光滑的结构边界和清晰的材料界面。目标函数和体积约束的收敛曲线如图2-8所示，算法在第259次迭代时收敛，最优拓扑所对应的结构柔度值为86.2716。值得注意的是，在前几步迭代中，目标函数值并没有下降。这是因为本例给出的初始设计违反了体积约束，在优化迭代的初始阶段，算法要迅速删除材料以满足设定的体积约束。在约20次迭代后，结构的最优拓扑已经形成，随后的迭代主要是对结构边界的形状进行优化，从而使结构的柔度达到最小。从整个收敛曲线图来看，目标函数值稳定降低，结构体积约束得到满足，说明了方法的有效性[16]。

1）阈值参数的影响

在所叙述的参数化水平集方法中，阈值参数κ有重要影响，将决定方法的精度和效率。本部分采用6个例子进行对比分析：前2个例子分别采用GSRBF和CSRBF插值方法，后4个例子采用CSRBF和DWT相结合的插值方法，并设置不同的阈值参数值。所有例子均采用相同的初始设计，设计域均离散为80×40个有限单元。

图2-9和表2-1给出了6组不同例子的优化结果。通过优化结果不难发现，利用CSRBF和DWT相结合的插值方式，阈值参数越大，插值系统稀疏度越高，计算效率越高，但过大的阈值参数可能会导致插值精度显著下降，表现为结构边界不光滑和迭代次数增加。反之，较小的阈值参数（如κ=1，10）计算效率较低，但插值精度更高。通过设置合适的阈值参数（例如κ=20），所提出方法的插值矩阵中零元素达到99%以上，相较于GSRBF直接插值的方式能够显著提升优化效率；相较于CSRBF直接插值方式，在插值系统的稀疏度、求解时间、迭代次数以及最优目标值方面均较优[16]。

2）有限元网格规模的影响

本部分对图2-5所示的设计空间分别采用80×40、120×60和160×803种规模的有限元网格进行离散，从而来讨论有限元网格对优化效果的影响。所有例子中，阈值参数均设置为κ=20，结构的初始设计如图2-6(a)所示。

不同网格规模对应的优化设计结果如图2-10和表2-2所示。随着有限元单元数量的增加，优化计算的成本也迅速增加。然而采用本章所论述的参数化水平集方法总能获得极其稀疏的插值矩阵，意味着更新水平集函数所需的时间及计算机内存将极大减少。3个例子的最优结构拓扑展现出清晰、光滑的边界，说明尽管该方法仅利用较少的非零元素进行插值，但其精度完全能够满足工程需求。不同网格规模下的最优结构拓扑及其对应的柔度值相差无几，说明本章所论述的参数化水平集方法可以有效避免网格依赖性。其原因在于CSRBF插值中紧支域半径是一个重要参数，它决定了最优结构拓扑的复杂程度，若在优化时采用相同的紧支域半径，不同粒度的有限元网格下的优化设计便能收敛到相似的拓扑形式[16]。

2.6.2　三维悬臂结构刚度拓扑优化设计案例

三维悬臂结构的设计空间如图2-11所示，结构的左端约束全部自由度，右端作用300kN向下的集中载荷。本例的设计域采用20×8×40个八节点有限单元进行离散，由于结构设计域及其边界条件关于y轴对称，因此有限元模型可以简化为20×4×40个。本例的优化目标为结构柔度最小化，设计约束为结构体积分数不超过50%。

分别采用3种方法对本例所涉及的优化问题进行求解，即①CSRBF+DWT且阀值参数κ=20；②CSRBF直接插值法；③GSRBF直接插值法。采用插值方法①时的三维悬臂结构的初始设计和最优设计如图2-12所示。算法经过195次迭代达到收敛，结构柔度从最大时的385.45下降至176.82，结构体积分数为50%，完全满足约束条件，最优设计亦显示出光滑、清晰的结构边界。分别由3种插值方式构建的参数化水平集拓扑优化方法所对应的优化结果如表2-3所示。可以明显看出，针对规模更大且更加复杂的三维结构拓扑优化问题，在保证计算精度的前提下，CSRBF+DWT方法优化效率远高于GSRBF和CSRBF方法，验证了本方法的优越性。