2.1 二维向量绘图
二维世界如同一页纸或者计算机屏幕一样扁平。在数学语言中，这种扁平的二维空间称为平面。二维平面中的物体有长度和宽度两个维度，但没有第三个维度——高度。同样，可以用两个信息来描述二维世界中的具体位置：垂直位置和水平位置。为了描述点在平面中的位置，你需要一个参考点。这个特殊的点称为原点。图2-1展示了这种关系。
图2-1 参照原点定位一个具体的点
虽然有很多点可供选择，但必须确定其中一个作为原点。为便于区分，我们选择×点作为原点（如图2-1所示）。可以从原点开始画一个箭头（像图2-1中的那条实线）表示它和另一个点的相对位置。
二维向量（two-dimensional vector）是平面上相对于原点的一个点。换言之，可以把一个向量想象成平面上的一个直线箭头，从原点指向一个具体的点（见图2-2）。
图2-2 箭头指向相对于原点的一个具体的点
从本章开始，我们将用箭头和点来表示向量，因为可以用它们画出更多有意思的图。如果将图2-2中的点连接起来，会得到一只恐龙，如图2-3所示。
图2-3 连接平面中的点来绘图
计算机中呈现的二维或三维图形，无论是这只简单的恐龙还是皮克斯动画长片，都通过连接一些点或者向量来显示期望的形状。要想创建图形，就需要把向量放在正确的位置上，因而需要精准地测量。接下来看看如何测量平面中的向量。
2.1.1 如何表示二维向量
可以使用尺子测量一维世界中的对象，比如一个物体的长度。要测量二维对象，我们需要两把尺子。这些尺子就是坐标轴，它们彼此垂直，相交于原点。借助坐标轴来绘图，恐龙就有了上下左右之分。如图2-4所示，水平的轴称为
轴，垂直的轴称为
轴。
图2-4 基于轴和轴绘制的恐龙
借助坐标轴确定方向，我们可以说：“有4个点在原点的右上方。”但这还不够，还需要进一步量化数据。在尺子上，有刻度来展示测量到多少单位。与之类似，在二维平面中，可以添加垂直于轴线的网格线，以展示点相对于轴线的位置。按惯例，我们把原点放在轴和轴的刻度0处（见图2-5）。
图2-5 网格线让我们可以测量点与坐标轴的相对位置
通过网格线，可以精准测量平面中的向量。举个例子，在图2-5中，恐龙的尾巴尖对应轴上的+6、轴上的+4。目前你可以认为这些数值代表厘米、英寸、像素或者其他任何长度单位。除非有特定的场景，一般情况下我们不使用单位。
数6和4分别是点的
坐标和
坐标，帮助我们定位具体的点。一般将二维坐标写成坐标和坐标的有序数对（或者叫元组），比如(6, 4)。图2-6展示了如何通过3种方式来描述同一个向量。
图2-6 描述同一个向量的3种方式
通过形如(-3, 4.5)的坐标，可以在平面中定位表示它们的点或者箭头。到达该坐标在平面上对应点的路径是：从原点开始，向左移动3个网格（因为坐标是-3）的距离，然后向上移动4个半网格（坐标是4.5）的距离。这个点并不在两条网格线的交点上，但这无关紧要，因为任何实数组成的坐标都能确定平面中的一个点。相应地，箭头是从原点到该位置的直线路径，指向左上方（或者说西北方）。尝试自己练习一下这个例子吧！
2.1.2 用Python绘制二维图形
当你在屏幕上绘制图形时，是在二维平面上工作的。屏幕上的像素就是二维平面上的可用点，其坐标用整数（而非实数）表示，而且像素相互独立。尽管如此，大多数图形库允许使用浮点数作为坐标值，并会将图形上的点自动转换为屏幕上的像素。
要在屏幕上绘制图形，我们有大量的语言和库可供选择：OpenGL、CSS、SVG，等等。具体到Python中，有Pillow和Turtle这样的库，非常适合用向量来进行绘图。本章会使用一些自定义函数来辅助绘图，这些函数是基于一个名为Matplotlib的Python库之上构建的。这些工具函数可以让我们专注于绘图本身。在掌握了这些工具函数后，就可以推此及彼，很容易地学会任何其他相关的Python库。
这里最重要的函数是draw，它的输入是几何图形类的实例，以及其他影响绘制效果的关键字参数。表2-1列出了用于绘制各种几何对象的Python类。
表2-1 一些表示几何图形的Python类，可用于draw函数
你可以在源代码文件vector_drawing.py里找到这些函数。本章最后会对它们的具体实现进行说明。
注意 从本章开始，源代码目录下有对应的notebook来记录如何顺次运行所有代码，其中包括如何从
vector_drawing模块导入所需的方法。如果你对此并不了解，可以参考附录A来配置Python和Jupyter。
使用这些绘图函数，可以把图2-5中表示恐龙轮廓的点画出来。
from vector_drawing import *
dino_vectors = [(6,4), (3,1), (1,2), (-1,5), (-2,5), (-3,4), (-4,4),
# 这里插入剩余的16个向量
]
draw(
Points(*dino_vectors)
)这里没有给出完整的dino_vectors列表，但只要提供完整的向量集合，这段代码就可以绘制出如图2-7所示的点（也与图2-5相符）。
图2-7 用Python中的draw函数绘制恐龙的轮廓点
下一步，可以把点连接起来。先来尝试连接恐龙尾巴上的点(6, 4)和点(3, 1)，通过如下方式调用draw函数来实现图2-8中的效果。
draw(
Points(*dino_vectors),
Segment((6,4),(3,1))
)
图2-8 将恐龙轮廓点中的(6, 4)和(3, 1)连接而成的线段
这条线段实际上是由点(6, 4)和点(3, 1)以及位于它们之间的所有点组成的集合。draw函数会将线段上的所有像素设置为蓝色。Segment类提供的抽象能力很实用，使用它再绘制20条线段，就得到了恐龙的完整轮廓（见图2-9）。
图2-9 通过21次函数调用，得到21条线段，就形成了恐龙的轮廓
只要提供所有向量，就可以勾勒出想要绘制的二维图形。手动计算所有的坐标是很乏味的，所以接下来研究如何通过向量运算来自动计算坐标值。
2.1.3 练习
练习2.1：恐龙脚趾尖上的点的
解：(-1, -4)
练习2.2：在平面上画出点(2, -2)和与之对应的箭头。
解：用平面上的点和箭头表示(2, -2)如图2-10所示。
图2-10 表示(2, -2)的点和箭头
练习2.3：通过观察恐龙各点的位置，推断
dino_vectors列表未包含的其余向量。例如，列表已经包含了恐龙尾巴尖上的点(6, 4)，但不包含恐龙鼻子上的点(-5, 3)。完成后，dino_vectors列表中应该有由21个坐标对表示的向量。解：恐龙轮廓的完整向量列表如下。
dino_vectors = [(6,4), (3,1), (1,2), (-1,5), (-2,5), (-3,4), (-4,4), (-5,3), (-5,2), (-2,2), (-5,1), (-4,0), (-2,1), (-1,0), (0,-3), (-1,-4), (1,-4), (2,-3), (1,-2), (3,-1), (5,1) ]
练习2.4：构建一个以
dino_vectors为顶点的Polygon对象，画出将每个点相连的恐龙图像（见图2-11）。解：
draw( Points(*dino_vectors), Polygon(*dino_vectors) )
图2-11 绘制呈多边形的恐龙轮廓
练习2.5：当
draw函数绘制表示向量(x, x**2)的点。解：当
绘制出的图表如图2-12所示。
图2-12
为了绘制这个图表，我给
draw函数传递了两个额外的关键字参数。grid参数为(1, 10)，表示每隔1个单位绘制垂直网格线，以及每隔10个单位绘制水平网格线。nice_aspect_ratio参数设置为False，表示draw( Points(*[(x,x**2) for x in range(-10,11)]), grid=(1,10), nice_aspect_ratio=False )