1.2 鲁棒优化

1.2.1 鲁棒优化的一般概念

鲁棒优化（Robust Optimization，RO）是一类基于区间扰动信息的不确定性决策方法，其目标在于实现不确定参数最劣情况下的最优决策，即通常所说的最大最小决策问题[1-3]。

鲁棒优化具有如下特点：

1）决策关注于不确定参数的扰动边界，一般不需要获知不确定参数精确的概率分布；

2）一般来讲，鲁棒优化模型可通过转化，构成其确定性等价模型进行求解，求解规模与随机规划方法相比相对较小；

3）由于鲁棒优化决策针对不确定参数的最劣实现情况，其解往往存在一定的保守性。

上述特点使鲁棒优化成为一类特殊的不确定优化方法，具有独特的应用条件与效果。

不失一般性，以考虑参数不确定性的线性规划问题为例，构建鲁棒优化的一般模型[1]，表示为

式中，x代表n阶待决策向量；c是线性目标函数中的参数向量；A是约束方程中的m×n阶系数矩阵；b是m阶右边项参数向量；U是不确定集。

由式（1.1）可以看出，线性鲁棒优化模型与线性规划模型在形式上具有一致性，但两者参数的属性有着本质区别。鲁棒优化模型考虑了目标函数和约束条件中参数的不确定性，即参数c，A，b可在不确定集合U中任意取值，当然，其也可以为确定值。

根据鲁棒优化的定义，其解具有以下特点：

1）决策在不确定参数实现情况未知条件下进行，可以获得一个确定的解；

2）决策结果足以应对所有不确定参数的同时扰动；

3）当不确定参数在预先设定的不确定集内取值时，模型约束必然满足。

由此可见，鲁棒优化模型的有效解是指当模型参数在不确定集合中任意取值时，能够保证所有约束均满足的一组确定的数值解。

为体现鲁棒优化解的上述特点，需在鲁棒优化模型中显式表达参数不确定性给决策结果带来的最劣影响，由此，可将式（1.1）所示的鲁棒优化标准模型转化为其鲁棒对等模型，如式（1.2）所示：

该模型中，内部嵌套的最大化问题表征了不确定参量对于优化的最劣影响，而外部最小化问题则表明了鲁棒优化所寻求的最优解是在最劣情况下的最好解。观察式（1.2）不难发现，在将不确定参量作为内层优化问题的决策变量后，该式变为一个确定性的多层嵌套的优化问题，其求解思路是将内层子问题通过对偶变换等方式处理，形成单层线性或非线性确定性优化问题，实现模型的可解化处理。进而，可通过各类分解迭代快速算法（如Benders分解法、割平面法、C&CG算法等），实现问题的有效求解[4-6]。