1.2.2 鲁棒不确定集的构成

由鲁棒优化的基本思想可知，模型中不确定参数的变化范围将构成一个确定的有界集合，优化过程则将依据集合边界，寻找最劣扰动情况下的最优解。据此思路，对解保守性的控制即体现为对不确定集合规模的控制，这是关系到模型求解效率和保守性的重要问题。

当前研究中常采用盒式不确定集、多面体不确定集、椭球不确定集等形式描述不确定参数的变化范围[7]。本节将对各类不确定集合的特点及其解的保守程度进行简单分析。

为方便描述，设不确定参数的不确定区间相对于估计值对称，如对于不确定参数，有如下定义[8,9]：

式中，a_ij为参数的估计值；为给定常量；ξ_ij为独立不确定变量；J_i为约束i中的不确定系数子集。

1.盒式不确定集

区间是描述不确定参数波动范围的一种基本形式，由区间直接构成的不确定集被称为盒式不确定集，对于式（1.3）所示不确定参数的表达方式，盒式不确定集可以表示为[10]

式中，Ψ是控制不确定集大小的可调参数。

盒式不确定集对单一不确定参数的扰动边界设定了限制，优化模型将保证不确定参数区间边界内各种实现情况的可行性，而不考虑参数超出区间边界的情况，因此，盒式不确定集通过调整区间的覆盖范围来决定决策结果的保守性。

2.多面体不确定集

盒式不确定集限定了单一不确定参量的扰动范围。然而，所有扰动同时到达边界的情况并不太可能发生，这是由中心极限定理所决定的，与个体不确定参数遵循何种概率分布无关。由此，可以通过对不确定参数同时达到扰动边界的数量的限制，来描述现实中的这种规律，从而构成多面体不确定集，表示为

式中，Γ是控制不确定集中同时到达边界不确定量多少的可调参数，表征了扰动之间的相互关联，用以控制模型的保守度。

3.椭球不确定集

椭球不确定集是另一类可以限制扰动同时率的集合描述形式，其与多面体不确定集含义相似，不过采用的是二范数的形式来控制集合的大小。

式中，Ω是控制不确定集大小的可调参数。

4.组合不确定集

显然，不管是多面体集合或是椭球集合，集合内超出不确定量自身扰动边界的部分都是没有意义的。由此，可以通过盒式不确定集与多面体或椭球不确定集的交集，来限定不确定量的扰动范围。其中，盒式不确定集用以限定每个不确定量的扰动范围，而多面体或椭球不确定集用以限定各个不确定量扰动的同时率。如以椭圆集与盒式集为例，图1.2给出了两种集合几种关系下的交集（多面体集与之类似，不再赘述）。

在图1.2中，不确定集可由式（1.7）表示：

图1.2中，盒式不确定集的控制参数Ψ=1。在前两幅子图中，椭圆集参数0<Ω≤1，不确定量的扰动范围完全由椭圆集所确定，其中，在Ω=1时，椭圆集恰好内接盒式集。在第三幅子图中，，这里，|J_i|表示约束i中不确定量的维数，图中|J_i|=2。此时，不确定量的扰动范围由椭圆集和盒式集共同决定。在第四幅子图中，，此时盒式集内接椭圆集，在此种情况下，乃至Ω更大的情况下，不确定量的扰动范围都是由盒式集决定的。

需要注意的是，不同形式的扰动集合，其应用场景也是不同的。在本书所提出的系列有效安全域方法中，有效安全域将采用盒式不确定集的表达形式。采用这种不确定集的表达形式有一种突出的优点，就是在所形成的有效安全域中，各不确定量被允许的扰动范围将是相互独立的。也就是说，任何一个不确定量不需要事先获知其他不确定量的真实实现，就可以明确自己被允许的扰动范围。这一特性特别重要，它更加符合电力系统运行的实际情况，使我们在确定调度计划的同时，就可以下发系统各个节点所能够接纳的扰动范围，为多层协同的系统运行提供重要的控制信号（显然，椭圆、多面体不确定集由于存在多个不确定量之间的关联约束，并不具有这一特性）。