1.4 按照连杆位置及连杆点位置综合铰链四杆机构
1.4.1 已知连杆三个位置综合铰链四杆机构
表4-2-4
1.4.2 已知连杆四个位置综合铰链四杆机构
已知条件：连杆平面上线段BC的四个位置B1C1、B2C2、B3C3和B4C4。
作图步骤
①根据已知的B1C1、B2C2、B3C3及B4C4的位置，用作图法求出其转动极P12、P13、P14和连杆的角位移θ12、θ13、θ14（图4-2-18）。
图4-2-18
②过P12作z1和n1线使
，过P13作
及
线使
，过P14作
及
线使
（图4-2-19）。
图4-2-19
③把上述三个角度∠θ12/2、∠θ13/2、∠θ14/2做成透明纸样板∠P12、∠P13、∠P14，分别以P12、P13、P14为中心转动样板试凑，使z1、
、
汇交于一点E1，同时n1、
、
汇交于另一点A，就得到一组对应的动铰链E1及固定铰链A的位置。
④再转动样板得另一组交点，即另一组对应的动铰链F1及固定铰链D的位置。
⑤机构在第一位置的图形即为AE1F1D，当E1F1转到E2F2、E3F3、E4F4时，连杆上的B1C1线相应地转到B2C2、B3C3及B4C4位置。如所得的机构不满足特定要求，可重复步骤③和④，求得另一机构解，直至满意。
⑥在上述求解过程中可根据机构的尺寸范围、是否需要曲柄及传动角等要求，选择合理的两组对应位置，作为机构图形。
⑦如在图4-2-19中，选择P12作为固定铰链A的位置，则
边线及
边线交于P12点，
及
边线的交点即为动铰链的位置E1。D、F1的解法同步骤4，因而作图过程得到简化。
1.4.3 圆点曲线及圆心曲线
前面所述连杆四个位置综合作图法有无穷多解，只要绕各转动极P1i（i=2、3、4）连续地转动样板∠P1i，就可得到相应的一组z及n的交点，z边的交点（动铰链可能位置）轨迹称为圆点曲线，用K1表示；n边的交点（固定铰链可能位置）轨迹称为圆心曲线，用M1234表示（图4-2-20）。
图4-2-20
圆点曲线K1是在第1参考位置时连杆动平面上的曲线，当连杆在给定的4个位置时，K1上的对应圆点依次落在一个圆弧上。圆弧中心的轨迹即为圆心曲线。圆心曲线在固定平面上。
于是前面所述实现四个位置的机构的设计也可以按这样的步骤进行，即先作出圆点曲线及圆心曲线，然后在曲线上选择合适的两对对应位置作为动铰链及固定铰链位置，从而求出机构图形。
关于连杆实现已知五个位置的机构综合，以及有关圆点曲线及圆心曲线的详细理论及作图方法可参考有关专门著作［9，13］。
1.4.4 已知连杆上点的位置综合铰链四杆机构
例1 设计一个铰链四杆机构，已知输入角φ12及φ13（图4-2-21a）及连杆上一点e的三个点位e1、e2、e3。
图4-2-21
解 1.取两张透明纸，一张上画输入杆的位置线（图4-2-21a）及若干同心圆（图中未示），另一张上分别以e1、e2、e3为圆心、选定的半径为半径画圆弧K1、K2、K3；将两张纸重叠并作相对转动，直到K1、K2、K3三个圆弧分别与图a上的三条位置线相交于同一半径圆弧上的B1、B2、B3点，求得固定铰链A及输入杆长度AB（图4-2-21b）。
2.根据连杆Be的三个位置B1e1、B2e2和B3e3，求连杆在1、2位置间的转动极P12和在1、3位置间的转动极P13，以及连杆转动的半角（图4-2-21c）
3.过P12可任意选合适位置作z和n线使
，过P13作z′及n′线使
。z与z′的交点即为动铰链位置C1，n与n′的交点为固定铰链D的位置。
4.机构在第1位置的图形为AB1C1D及连杆上一点e1。当输入杆由AB1转到AB2和AB3时，连杆相应地占有B1C1e1、B2C2e2及B3C3e3的位置（图4-2-21d）。
例2 设计一个铰链四杆机构，连杆上一点e需实现e1、e2、e3和e4四个点位（图4-2-22a）。
图4-2-22
解 1.由于本例未给定输入杆的位置要求φ1i，故可根据机构的尺寸范围选定固定铰链A的位置、曲柄长度AB、B1点位置以及连杆上Be的长度，然后作曲柄圆及动铰链B1、B2、B3和B4（图4-2-22a）。
2.根据B1e1、B2e2、B3e3及B4e4（即连杆上Be线的四个位置）求出转动极P12、P13、P14。
3.求出连杆在第1、2位置，第1、3位置及第1、4位置间转角的半角值
4.以P12为中心，选合适位置作
；以P13为中心作
；以P14为中心作
；试凑到使z′、z″与z交于一点C1，同时n′、n″与n交于一点D。C1与D是一对对应的动铰链及固定铰链的位置。
5.机构在第1位置的图形即为ADB1C1e1，e1为连杆B1C1上的一个点。如果所得机构的尺寸比例和传动角不合适，则需另选∠zP12n的位置，即令∠zP12n绕P12点转一角度再进行试凑得另一解。有时整个设计过程需重选A点位置及AB长度。
例3 设计一个带停歇期的六杆机构，图4-2-23中基础的铰链四杆机构是一个曲柄摇杆机构。当已知输入杆转动φ14角时，六杆机构的输出杆GF近似地停歇不动。
图4-2-23
解 1.本例可先按机构空间尺寸，选定处于某一圆弧上的四个点e1、e2、e3、e4；如给定了输入杆的φ12、φ13、φ14时，可按例1的方法设计出基础铰链四杆机构ABCD。如未给定φ12、φ13，则可按例2的方法设计出基础四杆机构ABCD。
2.在第1步中已同时求得转动极P12、P13、P14及
、
、
。
3.分别过P12、P13和P14作直线P12z、P13z′和P14z″通过e1点；再作直线P12n、P13n′和P14n″使
、
、
，则P12n、P13n′和P14n″三条直线的交点F1便是动铰链F的位置，而e1则是连杆B1C1上的动铰链位置。显然F1是动铰链e的圆弧轨迹的圆心。
4.根据机构空间取定输出杆的固定铰链G的位置，得到机构在第一位置时的图形ADB1C1e1F1G。确定GF杆长度时，应考虑输出杆GF的摆角x值。连杆点e的整个轨迹可由作图法或解析法得到。
1.4.5 轨迹综合
四杆机构的轨迹综合，是使所设计的四杆机构的连杆某一点能实现某一已知轨迹。设计方法有以下几种。
①用实验法求解。如图4-2-24已知要求实现的轨迹为mm，可先选定一点A为原动件的铰链中心，然后选定曲柄AB及连杆BM的长度。令
图4-2-24
式中，ρ′为A点至轨迹mm的最长距离，ρ为最短距离。
令连杆上M点在已知轨迹mm上运动，则B点在以A为圆心、AB为半径的圆周上移动，这时固结在连杆BM上的其他点如C′、C″、C‴点也各绘出其一定形状的轨迹。在这些轨迹中找出一与圆或圆弧相近似的轨迹，则形成此轨迹的点即为连杆上动铰链中心C，此轨迹的圆心即作为机架上固定铰链中心D，ABCD即为实现已知轨迹mm的四杆机构。
如果点的轨迹不是圆弧而是一直线，则可得曲柄滑块机构。
②在工程上已有现成的连杆轨迹图谱，设计者可以查阅图谱中相近的一条轨迹定出机构的初步尺寸。近年来出现了利用计算机按电子图谱设计的方法，但尚未推广。
③在所要求实现的轨迹上选择3个或4个点位，用1.4.4节方法进行实现此种点位的四杆机构尺寸设计，设计所得的四杆机构连杆上某一点的轨迹有若干个位置能精确实现所设计的轨迹，其余各点则是近似实现。
④当要求较多点（最多不超过9个）实现给定轨迹时，宜采用解析法进行设计。解析法有位移矩阵法和形封闭法等。
图4-2-25a所示四杆机构ABCD的连杆刚体以动铰链B、C与连架杆AB和CD相连，而连架杆则以转动副或移动副（图4-2-25b）相连，B、C在固定坐标系xOy中的轨迹为圆或直线，而连杆刚体上的点在xOy平面上的轨迹称为连杆曲线LL，不同的点有不同的轨迹。在两个连架杆和连杆上各设置一个坐标系（动坐标系），则与连架杆相固连的动坐标系只能作定点转动或定向（沿导路）移动，而与连杆相固连的动坐标系（uPiv）则是作平面复合运动（即坐标原点Pi是运动的）；与机架固连的坐标系是固定坐标系xOy（O不一定与定铰A重合）；铰链B、C与连杆点P在各自的动坐标系中的位置是固定不变的，然而它们在固定坐标xOy中的位置却是时变的；B相对A、C相对D以及P相对B、C在各自动坐标系中的相对位置和距离都是固定不变的，而且连杆上B、C点和连架杆上B、C点在固定坐标系中同一时刻的坐标值必须是相等的。按给定轨迹要求设计四杆机构时，连杆点P在固定坐标系中坐标值系列（xPi，yPi）是给定的，为了简化计算，在连杆上的动坐标系原点即取为Pi，则连杆上给定点Qi的坐标（uQ、vQ为动系坐标，xQi、yQi为定系坐标）可表示为：
（4-2-6）
图4-2-25
式中，θi表示动坐标u与x坐标之间的夹角，它表示连杆刚体的姿态；（xQi、yQi）和（uQ、vQ）表示连杆点Q在定坐标和动坐标中的位置；xQi、yQi和θi三者合称连杆刚体的位姿。
取定连杆刚体的第一个位姿（xQ1，yQ1，θ1，xP1，yP1），可得：
uQ=（xQ1-xP1）cosθ1＋（yQ1-yP1）sinθ1
vQ=（yQ1-yP1）sinθ1-（xQ1-xP1）cosθ1
再将（uQ、vQ）代入式（4-2-6）可得：
xQi=xPi＋xQ1cosθi1-xP1cosθi1＋yP1sinθi1-yQ1sinθi1 （4-2-7）
yQi=yPi＋xQ1sinθi1-xP1sinθi1-yP1cosθi1＋yQ1cosθi1
或 
式中，θi1=θi-θ1为刚体由位姿1到达位姿i时的相对转角；有下标1和i的参数分别表示位姿1和i时的参数值；［Di1］P为以P1为原点的位移矩阵，此位移矩阵可用于任何作平面运动的刚体，例如用于连架杆则可以A1（或D1）取代P1，这时θi1应以φi1取代；如构件作平移（如滑块）则只需令θi1=0。
对以转动副和机架相连的连架杆，有以下定杆长约束方程：
（4-2-8）
（4-2-9）
对以移动副和机架相连的连架杆（滑块），有以下定向约束方程：
yCi-yC1=（xCi-xC1）tanα i=2、3、4、… （4-2-10）
式中，α是滑块导路与固定坐标系的x轴之间的夹角，且为定值。
由于连杆上的动铰链B、C与连架杆上的动铰链B、C在固定坐标系xOy中应该具有相同的值，所以同一连杆上的B、C两点的位移矩阵中的θi1、xP1、xPi、yP1和yPi都是相同的。基于以上分析，将式（4-2-7）中的（xBi=xQi、yBi=yQi）代入式（4-2-8）中，经整理后可以得到非线性的方程组：
杆AB： Ai1cosθi1＋Bi1sinθi1=Gi1 （4-2-11）
Ai1=（xB1-xP1）（xPi-xA）＋（yB1-yP1）（yPi-yA）
Bi1=（xB1-xP1）（yPi-yA）-（yB1-yP1）（yPi-xA）
i=2、3、…、n
同理，杆CD： Ci1cosθi1＋Di1sinθi1=Ki1 （4-2-12）
Ci1=（xC1-xP1）（xPi-xD）＋（yC1-yP1）（yPi-yD）
Di1=（xC1-xP1）（yPi-yD）-（yC1-yP1）（xPi-xD）
i=2、3、4、…、n
滑块C： Ei1cosθi1＋Fi1sinθi1=Hi1 （4-2-13）
Ei1=-（xC1-xP1）tanα＋（yC1-yP1）
Ei1=（yC1-yP1）tanα＋（xC1-yP1）
Hi1=-（xC1-xPi）tanα＋（yC1-yPi）
i=2、3、4、…、n
对全铰链四杆机构，联立式（4-2-11）和式（4-2-12）得：
（4-2-14）
和 （Gi1Di1-Ki1Bi1）2＋（Ai1Ki1-Ci1Gi1）2=（Ai1Di1-Ci1Bi1）2 （4-2-15）
式（4-2-15）中各系数均不包含连杆的姿态角θi1，故式（4-2-15）是按给定连杆点轨迹（不要求姿态角θ）设计全铰链四杆机构参数的方程式。当给定点位数为n时，方程数为n-1；而机构待定参数为8个，即铰链A、B、C、D的8个坐标值。当方程可解时，应满足n-1=8，即n=9，故用全铰链四杆机构实现给定轨迹时，最多能精确实现轨迹上的9个点。其余点只能近似实现，可以用优化的方法选择精确实现的9个点，使误差最小。当给定点位数n小于9时，可列方程数少于待定参数数，这时可预先选定的参数个数为（9-n）个，也就是说给定9个位置时无参数可供预选。
设计时，按给定的xPi、yPi（i=1、2、…、n）代入式（4-2-15）中的系数Ai1、Bi1、Ci1、Di1、Gi1和Ki1，得到（n-1）个非线性方程式，从而解得（n-1）个机构参数。例如n=9时为8个机构参数，n=5时为4个机构参数。再将求得的机构参数值代入式（4-2-14）便求出了连杆的姿态角θi1。应该指出：上述非线性方程组求解时，随着精确点数的增多，求解也越困难，而且可能无实解，或即使有解，也可能因杆长比或传动角等不合理而无实用价值。所以一般常按4～6个精确点设计，这时有3～5个参数可以预选，因而有无限多个解，有利于机构多目标优化的设计。
按给定轨迹设计曲柄滑块机构时，待求参数是铰链A、B、C的6个坐标值和导路的方向角α，共7个待求参数。这时能够精确实现的点位数为8个（即n-1=7，n=8）。所用的方程是式（4-2-8）、式（4-2-10）或式（4-2-11）、式（4-2-13）；这时，式（4-2-14）、式（4-2-15）应变为式（4-2-16）、式（4-2-17）：
（4-2-16）
（Gi1Fi1-Hi1Bi1）2＋（Ai1Hi1-Ei1Gi1）2=（Ai1Fi1-Ei1Bi1）2 （4-2-17）
当设计连杆位置给定（即θi1给定）的刚体引导机构时，所用方程及待求参数均同前；对铰链四杆机构n=5，对曲柄滑块机构n=4。
当按给定轨迹上一系列有序点Pi及其对应的曲柄转角φi的要求，设计四杆机构时，所用方程及待求参数均同前；对铰链四杆机构n=5，对曲柄滑块机构n=4。而且式（4-2-7）中的位移矩阵［Di1］P应改为［Di1］A，其元素中（xPi，yPi）、（xP1，yP1）均用（xA，yA）取代，将θi1改成φi1即可。更为翔实的说明可参阅文献［2、6、8］。
例 设计一铰链四杆机构，实现图4-2-26所示轨迹上5个点P1（1，1）、P2（2，0.5）、P3（3，1.5）、P4（2，2）和P5（1.5，1.9）。
图4-2-26
解 1.因已知点位数n=5，故可列设计方程数为（5-1）=4，待求参数为8，方程数不够，因而需预选参数，可预选参数的个数为（9-n）=（9-5）=4，先选定A（2.1，0.6）、D（1.5，4.2）。
2.将（xB1，yB1）、（xC1，yC1）、（xA，yA）、（xD，yD）、（xPi，yPi）代入式（4-2-11）、式（4-2-12）和式（4-2-15）得到四个非线性方程式，求得四个参数及四根杆的长度：
xB1=0.607、 yB1=-1.127； xC1=-0.586、 yC1=0.997；
lAB=2.283 lCD=3.822 lBC=2.346 lAD=3.649； lBP=2.163 lCP=1.586
3.连杆第一位置
的方向角θ1及第i个位置
的方向角θi可按下式求得：
则 θi1=θi-θ1
或按式（4-2-14）求出θi1的值。
应该指出：由于预选的A、D坐标值不同，所求得的机构参数也不相同。
1.4.6 相当机构及其应用
在机构设计时，有时会发现设计所得的四杆铰链机构虽然能实现预期的连杆上点的轨迹，但是固定铰链及动铰链不能很方便地安装在机器里，或者传动角很不恰当。遇到这些问题时可以应用重演同样连杆曲线有三个相当机构的原理（罗培兹定理），尝试采用另外两个相当机构来解决上述问题。相当机构的作图法如下（图4-2-27）：
图4-2-27
①已知四杆铰链机构ABCD及连杆上一点P，以AD为底边作三角形ADK与三角形BCP相似；
②作平行四边形AB′PB，作三角形B′PH与三角形BCP相似，AB′HK即为机构ABCD的一个相当机构，P点为连杆B′H上的一点；
③作平行四边形DCPC′，作三角形PC′H′与BCP相似，KH′C′D为机构ABCD的另一个相当机构。P点为连杆C′H′上的一点。
1.4.7 直线运动机构
在机构设计中常应用连杆上点的直线运动或近似直线运动的轨迹。表4-2-5列出若干种四杆及多杆机构连杆上点作直线或近似直线运动的机构。
表4-2-5
