2　瞬心线机构及互包络线机构

2.1　瞬心线机构的工作特点及设计计算的一般原理

（1）特点及用途

瞬心线机构是以相对运动瞬心线作为廓形线，利用摩擦力来传动的高副机构。它主要用来：①实现主、从动件之间的变速传动；②改善组合机构的运动特性或动力特性，例如图4-2-28的椭圆齿轮（相当于节线为两条椭圆瞬心线）与曲柄滑块机构组合，使滑块的工作行程作近似的等速运动，并在回程具有急回特性；③协调平行工作机构的周期。

（2）作纯滚动的条件

两绕定轴O₁、O₂转动的瞬心线（如图4-2-29中的C₁、C₂）作纯滚动的两个运动条件如下

1）根据三心定理，相对运动瞬心P与绝对运动瞬心O₁、O₂必位于同一直线上，故O₁P±O₂P=O₁O₂，或任何瞬时相互接触的两向径（r₁，r₂）之和等于中心距a。

r₁±r₂=a　　（4-2-18）

外接时用“＋”号，内接时用“-”号。

2）设t秒后，向径r₁与r₂恰好转到P′点相互接触，则瞬心线所滚过的两段弧长应相等。

或　　r₁dφ₁=r₂dφ₂

　　 即传动比 　　 　　 （4-2-19）

这样，每一瞬时，相对瞬心P将中心距a分成与角速度ω成反比的两个线段。

（3）瞬心线机构的设计计算

1）瞬心线方程式　已知中心距a，构件1的瞬心线C₁的方程r₁=r₁（φ₁），求构件2的瞬心线C₂的方程：

　　 （4-2-20） 　　

已知中心距a，传动比函数，求瞬心线C₁和瞬心线C₂的方程：

　　 （4-2-21） 　　

　　 （4-2-22） 　　

2）瞬心线在接触点的μ角　μ角是瞬心线接触点的向径r和公切线正方向t之间的夹角（图4-2-30），在瞬心线上任取一点为起点，设瞬心线弧长增加的方向与转角φ的方向相反，则瞬心线切线的正方向与弧长增加方向一致。

　　μ角的计算公式为： 　　 　　 （4-2-23）

　　 对于主动轮： 　　 　　 （4-2-24）

　　 对于从动轮： 　　 　　 （4-2-25）

　　 式中 　　

所以　　tanμ₁±tanμ₂=0

式中　“＋”号用于外接时，“-”号用于内接时。即外接时μ₁＋μ₂=180°，内接时μ₁=μ₂。

3）传动比函数i₁₂=f（φ₁）

①要使瞬心线具有平滑的外形，μ角连续变化，则要求传动比函数在φ₁变化区域内具有连续导数。

②为避免瞬心线出现过陡的段落，以利于力的传递，则要求传动比函数为有限的值，一般应使45°≤μ≤135°（即保证压力角α=｜μ-90°｜≤45°）。

③当要求主动轮按某一方向旋转，而从动轮旋转方向不变时，则要求传动比函数为正值。

因此，瞬心线机构的传动比函数应为有限正值的光滑曲线，可为周期函数曲线或非周期函数曲线，如图4-2-31所示。

4）封闭瞬心线　要求瞬心线机构能作连续转动时，其瞬心线必须是封闭的。

①封闭条件。要使主动轮为封闭曲线，由瞬心线方程式

可知必须使传动比函数是一个周期函数，其周期T与主动轮旋转周期T₁之间满足关系式，周期数n₁为整数。当的整数倍时，向径r₁的值重复出现，即φ₁为0、、、…、360°处，向径r₁均相等，廓线封闭。

要使与具有封闭瞬心线的主动轮相搭配的从动轮的瞬心线也是封闭曲线，由方程式

可知从动轮旋转周期T₂与T、T₁之间应满足关系式，周期数n₂也为整数。当的整数倍，而且的整数倍时，向径r₂的值重复出现，廓线封闭。

②封闭瞬心线机构的中心距a。主动轮转过φ₁=360°/n₁时，从动轮转过的角度为

　　 （4-2-28） 　　

当主动轮瞬心线为一封闭曲线，只有选取式（4-2-28）中解出的中心距a时，才能保证从动轮瞬心线封闭。

5）瞬心线周长S₁、S₂

　　 （4-2-29） 　　

式中　i=1或2。

对于非圆齿轮，其节线周长还应等于周节与齿数的乘积。

S_i=πmz_i　　（4-2-30）

式中　m——模数；

z_i——齿数。

为满足式（4-2-30）往往需要改变某些参数，如r_i（φ_i）等。

6）瞬心线的曲率半径ρ　当ρ＞0时，曲线外凸；ρ＜0时，曲线内凹；ρ=∞时，曲线成直线。瞬心线同时存在凹形与凸形时，则必然存在一个拐点，此处的ρ=∞。

曲率半径在极坐标系中的表达式为：

对于主动轮，瞬心线不出现凹形的条件为：

　　 经变换得 　　 　　 （4-2-31）

同理得从动轮瞬心线不出现凹形的条件为：

　　 经变换得 　　 　　 （4-2-32）

上述两式中： 　　

当非圆齿轮的节线有内凹部分时，则不能采用滚齿加工，而只能采用插齿或铣齿。

当节线为凸形时，必须验算最小曲率半径ρ_min处不产生根切的模数m。

　　 （4-2-33） 　　

取z_min=17。